Упр.6.31 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) Что называют интегрированием функции $$f(x)$$ на отрезке $$[a; b]$$?
б) Как называют результат интегрирования функции $$f(x)$$ на отрезке $$[a; b]$$? Как его обозначают?
в) Что называют определённым интегралом от функции $$f(x)$$ на отрезке $$[a; b]$$?
г) В чём заключается геометрический смысл определённого интеграла?
а) Интегрированием функции $$f(x)$$ на отрезке $$[a;b]$$ называют операцию, по которой для данной функции на отрезке $$[a;b]$$ находят число
$$\lim_{\max \Delta x_i \to 0}\left(f(c_1)\Delta x_1+f(c_2)\Delta x_2+\dots+f(c_n)\Delta x_n\right).$$
б) Результат интегрирования функции $$f(x)$$ на отрезке $$[a;b]$$ называют определённым интегралом и обозначают
$$\int\limits_a^b f(x)\,dx.$$
в) Определённым интегралом от функции $$f(x)$$ на отрезке $$[a;b]$$ называют предел интегральных сумм, когда длина наибольшего частичного отрезка разбиения стремится к нулю:
$$\int\limits_a^b f(x)\,dx= \lim_{\max \Delta x_i \to 0}\sum_{i=1}^n f(c_i)\Delta x_i.$$
г) Геометрический смысл определённого интеграла:
- если $$f(x)\ge 0$$ на $$[a;b]$$, то $$\int\limits_a^b f(x)\,dx$$ равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком $$y=f(x)$$, осью $$Ox$$ и прямыми $$x=a$$, $$x=b$$;
- если $$f(x)\le 0$$ на $$[a;b]$$, то $$\int\limits_a^b f(x)\,dx$$ равен минус площади соответствующей криволинейной трапеции.
Ответ
Интегрирование функции на отрезке $$[a;b]$$ — это операция нахождения предела интегральных сумм; результат этой операции называется определённым интегралом и обозначается $$\int\limits_a^b f(x)\,dx$$. Геометрически определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции при $$f(x)\ge 0$$ и минус этой площади при $$f(x)\le 0$$.
