Упр.6.30 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Sn = f(0) + 1/n + f(1/n) *1/n + f(2/n) * 1/n + … + f((n-1)/n) *1/n = (0^2 + (1/n)2 + (2/n)2 +… + ((n-1)/n)2) * 1/n = (1^2 + 2^2 + … + (n-1)2)/n3.
а) Упростите формулу для вычисления Sn, пользуясь ранее доказанным равенством 1^2+ 2^2 + … + n2 = (n(n+1)(2n+1))/6.
б) Существует ли предел интегральной суммы Sn при n — > +бесконечность? Если да, то чему он равен?
в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2, у = 0, х = 1?

Подробный ответ

Разобьём отрезок $$[0;1]$$ на $$n$$ равных частей. Тогда $$\Delta x=\frac{1}{n}$$, а интегральная сумма для функции $$y=x^2$$ имеет вид

$$ S_n=\left(0^2+\left(\frac{1}{n}\right)^2+\left(\frac{2}{n}\right)^2+\cdots+\left(\frac{n-1}{n}\right)^2\right)\frac{1}{n} =\frac{1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2}{n^3}. $$

а) Используем формулу

$$ 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. $$

Тогда

$$ 1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}. $$

Следовательно,

$$ S_n=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}. $$

б) Найдём предел:

$$ \lim_{n\to+\infty} S_n=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2} =\lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2-3n+1}{6n^2} =\frac{2}{6}=\frac{1}{3}. $$

Предел существует и равен $$\frac{1}{3}$$.

в) Площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=x^2$$, $$y=0$$ и $$x=1$$, равна определённому интегралу

$$ S=\int_0^1 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\frac{1}{3}. $$