Упр.6.3 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

6) f(x) = cosx, F(x) = sinx;
в) f(x) = 1/cos2x, F(x) = tgx;
г) f(x) = -1/sin2x, F(x) = ctg x;
д) f(x) = ex, F(x) = ex.

Проверим, что в каждом пункте функция $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$, то есть найдём производную $$F'(x)$$ и сравним её с $$f(x)$$.

1. $$f(x)=\sin x,\quad F(x)=-\cos x$$

   $$F'(x)=(-\cos x)’=\sin x=f(x)$$

2. $$f(x)=\cos x,\quad F(x)=\sin x$$

   $$F'(x)=(\sin x)’=\cos x=f(x)$$

3. $$f(x)=\frac{1}{\cos^2 x},\quad F(x)=\tg x$$

   $$F'(x)=(\tg x)’=\frac{1}{\cos^2 x}=f(x)$$

4. $$f(x)=-\frac{1}{\sin^2 x},\quad F(x)=\ctg x$$

   $$F'(x)=(\ctg x)’=-\frac{1}{\sin^2 x}=f(x)$$

5. $$f(x)=e^x,\quad F(x)=e^x$$

   $$F'(x)=(e^x)’=e^x=f(x)$$

Ответ

Во всех пунктах $$F'(x)=f(x)$$, значит, данная функция $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$.