Упр.6.29 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) Существует ли предел интегральной суммы Sn при n — > +бесконеччность? Если да, то чему он равен?
в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми у = х + 1, у = 0, х = 1?

Для функции $$y=x+1$$ на отрезке $$[0;1]$$ при разбиении на $$n$$ равных частей имеем $$\Delta x=\frac{1}{n}$$, а в качестве правых концов отрезков берём точки $$x_k=\frac{k}{n}$$, $$k=0,1,\dots,n-1$$.

Тогда интегральная сумма:

$$ S_n=\left(0+ \frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\cdots+\frac{n-1}{n}\right)\cdot \frac{1}{n}+1. $$

Упростим:

$$ S_n=\frac{1}{n}\cdot \frac{(n-1)n}{2n}+1=\frac{n-1}{2n}+1=\frac{3n-1}{2n}. $$

а) Тогда:

$$ S_1=1, $$

$$ S_2=\left(0+\frac12\right)\cdot \frac12+1=\frac54, $$

$$ S_3=\left(0+\frac13+\frac23\right)\cdot \frac13+1=\frac43, $$

$$ S_4=\left(0+\frac14+\frac24+\frac34\right)\cdot \frac14+1=\frac{11}{8}. $$

б) Найдём предел:

$$ \lim_{n\to\infty} S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{2n}=\frac32. $$

в) Площадь фигуры, ограниченной прямыми $$y=x+1$$, $$y=0$$, $$x=1$$, равна определённому интегралу:

$$ S=\int\limits_0^1 (x+1)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Bigg|_0^1=\frac12+1=\frac32. $$

Ответ

а) $$S_1=1,\; S_2=\frac54,\; S_3=\frac43,\; S_4=\frac{11}{8}$$; б) да, $$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac32$$; в) $$\frac32$$.