Упр.6.28 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Sn = f(0) * 1/n + f(1/n) * 1/n + f(2/n) * 1/n + … + f((n-1)/n) *1/n = (0+ (-1)/n + (-2)/n + … + (-n)-1))/n) * 1/n = — (0+1/n+2/n+ …+(n-1)/n) *1/n n слагаемых
а) Чем отличаются интегральные суммы в заданиях 6.27 и 6.28?
б) Чему равен предел интегральной суммы в задании 6.28?
в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми у = -х, у = 0, х = 1 (рис. 146)?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=-x$$ на отрезке $$[0;1]$$ и разобьём его на $$n$$ равных частей. Тогда $$\Delta x=\frac{1}{n}$$, а интегральная сумма по левым концам имеет вид

$$ S_n=f(0)\cdot \frac{1}{n}+f\!\left(\frac{1}{n}\right)\cdot \frac{1}{n}+f\!\left(\frac{2}{n}\right)\cdot \frac{1}{n}+\cdots+f\!\left(\frac{n-1}{n}\right)\cdot \frac{1}{n}. $$

Так как $$f(x)=-x$$, получаем

$$ S_n=0\cdot \frac{1}{n}+\left(-\frac{1}{n}\right)\cdot \frac{1}{n}+\left(-\frac{2}{n}\right)\cdot \frac{1}{n}+\cdots+\left(-\frac{n-1}{n}\right)\cdot \frac{1}{n}. $$

Следовательно,

$$ S_n=-\frac{0+1+2+\cdots+(n-1)}{n^2}. $$

Используем формулу суммы первых $$n-1$$ натуральных чисел:

$$ 0+1+2+\cdots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}. $$

Тогда

$$ S_n=-\frac{(n-1)n}{2n^2}=-\frac{n-1}{2n}. $$

а) В задании 6.27 и 6.28 интегральные суммы отличаются знаком: в 6.27 рассматривается функция $$y=x$$, а в 6.28 — функция $$y=-x$$.

б) Найдём предел интегральной суммы:

$$ \lim_{n\to\infty} S_n=\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{n-1}{2n}\right)=-\frac{1}{2}. $$

в) Площадь фигуры, ограниченной прямыми $$y=-x$$, $$y=0$$, $$x=1$$, равна модулю этого предела:

$$ S=\frac{1}{2}. $$