Упр.6.27 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) Вычислите интегральную сумму: S1; S2; S3; S4 (рис. 145).
б) Упростите формулу для вычисления Sn.
в) Имеет ли последовательность интегральных сумм S1, S2, S3,…, Sn … предел при n — > +бесконечность? Если имеет, то чему он равен?
г) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми у = ху, у = 0, х = 1?

Подробный ответ

Для функции $$y=x$$ на отрезке $$[0;1]$$ при разбиении на $$n$$ равных частей интегральная сумма имеет вид

$$ S_n=f(0)\cdot \frac1n+f\!\left(\frac1n\right)\cdot \frac1n+f\!\left(\frac2n\right)\cdot \frac1n+\cdots+f\!\left(\frac{n-1}{n}\right)\cdot \frac1n. $$

а) Найдём первые суммы:

$$ S_1=f(0)\cdot 1=0, $$

$$ S_2=\left(f(0)+f\!\left(\frac12\right)\right)\cdot \frac12=\left(0+\frac12\right)\cdot \frac12=\frac14, $$

$$ S_3=\left(f(0)+f\!\left(\frac13\right)+f\!\left(\frac23\right)\right)\cdot \frac13 =\left(0+\frac13+\frac23\right)\cdot \frac13=\frac13, $$

$$ S_4=\left(f(0)+f\!\left(\frac14\right)+f\!\left(\frac24\right)+f\!\left(\frac34\right)\right)\cdot \frac14 =\left(0+\frac14+\frac24+\frac34\right)\cdot \frac14=\frac38. $$

б) Упростим формулу для $$S_n$$:

$$ S_n=\left(0+\frac1n+\frac2n+\cdots+\frac{n-1}{n}\right)\cdot \frac1n =\frac{0+1+2+\cdots+(n-1)}{n}\cdot \frac1n. $$

Сумма первых $$n-1$$ натуральных чисел равна

$$ 0+1+2+\cdots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}. $$

Тогда

$$ S_n=\frac{(n-1)n}{2}\cdot \frac1{n^2}=\frac{n-1}{2n}. $$

в) Найдём предел последовательности:

$$ \lim_{n\to+\infty} S_n=\lim_{n\to+\infty}\frac{n-1}{2n} =\lim_{n\to+\infty}\left(\frac12-\frac{1}{2n}\right)=\frac12. $$

г) Площадь фигуры, ограниченной прямыми $$y=x$$, $$y=0$$, $$x=1$$, равна пределу интегральных сумм, то есть

$$ S=\frac12. $$