Упр.6.27 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим функцию $$y=x$$ на отрезке $$[0;1]$$. Разделим отрезок $$[0;1]$$ на $$n$$ равных частей и в качестве интегральной суммы возьмём $$S_n=f(0)\cdot\frac{1}{n}+f\left(\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}+f\left(\frac{2}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}+\ldots+f\left(\frac{n-1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}=\left(0+\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\ldots+\frac{n-1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}$$.

Вычислите интегральную сумму: $$S_1$$; $$S_2$$; $$S_3$$; $$S_4$$ (рис. 145).
Упростите формулу для вычисления $$S_n$$.
Имеет ли последовательность интегральных сумм $$S_1,S_2,S_3,\ldots,S_n,\ldots$$ предел при $$n\to+\infty$$? Если имеет, то чему он равен?
Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми $$y=x$$, $$y=0$$, $$x=1$$?

Подробный ответ

Для функции $$y=x$$ на отрезке $$[0;1]$$ при разбиении на $$n$$ равных частей интегральная сумма имеет вид

$$S_n=f(0)\cdot \frac1n+f\!\left(\frac1n\right)\cdot \frac1n+f\!\left(\frac2n\right)\cdot \frac1n+\cdots+f\!\left(\frac{n-1}{n}\right)\cdot \frac1n.$$

а) Найдём первые суммы:

$$S_1=f(0)\cdot 1=0,$$

$$S_2=\left(f(0)+f\!\left(\frac12\right)\right)\cdot \frac12=\left(0+\frac12\right)\cdot \frac12=\frac14,$$

$$S_3=\left(f(0)+f\!\left(\frac13\right)+f\!\left(\frac23\right)\right)\cdot \frac13 =\left(0+\frac13+\frac23\right)\cdot \frac13=\frac13,$$

$$S_4=\left(f(0)+f\!\left(\frac14\right)+f\!\left(\frac24\right)+f\!\left(\frac34\right)\right)\cdot \frac14 =\left(0+\frac14+\frac24+\frac34\right)\cdot \frac14=\frac38.$$

б) Упростим формулу для $$S_n$$:

$$S_n=\left(0+\frac1n+\frac2n+\cdots+\frac{n-1}{n}\right)\cdot \frac1n =\frac{0+1+2+\cdots+(n-1)}{n}\cdot \frac1n.$$

Сумма первых $$n-1$$ натуральных чисел равна

$$0+1+2+\cdots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}.$$

Тогда

$$S_n=\frac{(n-1)n}{2}\cdot \frac1{n^2}=\frac{n-1}{2n}.$$

в) Найдём предел последовательности:

$$\lim_{n\to+\infty} S_n=\lim_{n\to+\infty}\frac{n-1}{2n} =\lim_{n\to+\infty}\left(\frac12-\frac{1}{2n}\right)=\frac12.$$

г) Площадь фигуры, ограниченной прямыми $$y=x$$, $$y=0$$, $$x=1$$, равна пределу интегральных сумм, то есть

$$S=\frac12.$$