Упр.6.25 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$\int x^2 e^x\,dx$$; б) $$\int x^2\sin x\,dx$$; в) $$\int x^2\cos x\,dx$$.

а) Найдём интеграл по частям:

$$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x — \int 2x e^x\,dx$$

Снова применим интегрирование по частям к интегралу $$\int 2x e^x\,dx$$:

$$\int 2x e^x\,dx = 2\left(xe^x-\int e^x\,dx\right)=2\left(xe^x-e^x\right)$$

Тогда

$$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x — 2xe^x + 2e^x + C = e^x(x^2-2x+2)+C$$

б)

$$\int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x + \int 2x\cos x\,dx$$

Ещё раз интегрируем по частям:

$$\int 2x\cos x\,dx = 2\left(x\sin x-\int \sin x\,dx\right)=2(x\sin x+\cos x)$$

Следовательно,

$$\int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$$

в)

$$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x — \int 2x\sin x\,dx$$

Вычислим оставшийся интеграл по частям:

$$\int 2x\sin x\,dx = 2\left(-x\cos x+\int \cos x\,dx\right)=2(-x\cos x+\sin x)$$

Тогда

$$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x + 2x\cos x — 2\sin x + C$$

Ответ

$$\int x^2 e^x\,dx = e^x(x^2-2x+2)+C$$
$$\int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$$
$$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x + 2x\cos x — 2\sin x + C$$