Упр.6.25 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 6.25* a) интеграл x2exdx; 6) интеграл x2 sin xdx; в) интеграл x2 cos xdx. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 6-25 118

а) Найдём интеграл по частям:

$$ \int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x — \int 2x e^x\,dx $$

Снова применим интегрирование по частям к интегралу $$\int 2x e^x\,dx$$:

$$ \int 2x e^x\,dx = 2\left(xe^x-\int e^x\,dx\right)=2\left(xe^x-e^x\right) $$

Тогда

$$ \int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x — 2xe^x + 2e^x + C = e^x(x^2-2x+2)+C $$

б)

$$ \int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x + \int 2x\cos x\,dx $$

Ещё раз интегрируем по частям:

$$ \int 2x\cos x\,dx = 2\left(x\sin x-\int \sin x\,dx\right)=2(x\sin x+\cos x) $$

Следовательно,

$$ \int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C $$

в)

$$ \int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x — \int 2x\sin x\,dx $$

Вычислим оставшийся интеграл по частям:

$$ \int 2x\sin x\,dx = 2\left(-x\cos x+\int \cos x\,dx\right)=2(-x\cos x+\sin x) $$

Тогда

$$ \int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x + 2x\cos x — 2\sin x + C $$

Ответ

$$ \int x^2 e^x\,dx = e^x(x^2-2x+2)+C $$
$$ \int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C $$
$$ \int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x + 2x\cos x — 2\sin x + C $$