Упр.6.24 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 6.24. Найдите неопределённый интеграл, используя интегрирование по частям (6.24—6.25):
   а) $$\int x\cos x\,dx$$;
   б) $$\int \frac{x\,dx}{\cos^2 x}$$;
   в) $$\int \frac{x\,dx}{\sin^2 x}$$;
   г) $$\int x\sqrt{x-7}\,dx$$.

а) Используем формулу интегрирования по частям:

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

Пусть $$u=x,$$ тогда $$du=dx,$$ а $$dv=\cos x\,dx,$$ значит $$v=\sin x.$$

Тогда

$$\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C.$$

б) Пусть $$u=x,$$ тогда $$du=dx,$$ а $$dv=\frac{dx}{\cos^2 x},$$ значит $$v=\tg x.$$

Тогда

$$\int \frac{x\,dx}{\cos^2 x}=x\tg x-\int \tg x\,dx.$$

Так как

$$\int \tg x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-\ln|\cos x|+C,$$

то

$$\int \frac{x\,dx}{\cos^2 x}=x\tg x+\ln|\cos x|+C.$$

в) Пусть $$u=x,$$ тогда $$du=dx,$$ а $$dv=\frac{dx}{\sin^2 x},$$ значит $$v=-\ctg x.$$

Тогда

$$\int \frac{x\,dx}{\sin^2 x}=-x\ctg x+\int \ctg x\,dx.$$

Так как

$$\int \ctg x\,dx=\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx=\ln|\sin x|+C,$$

то

$$\int \frac{x\,dx}{\sin^2 x}=-x\ctg x+\ln|\sin x|+C.$$

г) Пусть $$u=x,$$ тогда $$du=dx,$$ а $$dv=\sqrt{x-7}\,dx.$$ Найдём $$v$$:

$$v=\int \sqrt{x-7}\,dx=\int (x-7)^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}(x-7)^{3/2}=\frac{2}{3}(x-7)\sqrt{x-7}.$$

Тогда

$$\int x\sqrt{x-7}\,dx=\frac{2}{3}x(x-7)\sqrt{x-7}-\frac{2}{3}\int (x-7)^{3/2}\,dx.$$

Вычислим оставшийся интеграл:

$$\int (x-7)^{3/2}\,dx=\frac{2}{5}(x-7)^{5/2}.$$

Следовательно,

$$\int x\sqrt{x-7}\,dx=\frac{2}{3}x(x-7)\sqrt{x-7}-\frac{4}{15}(x-7)^{5/2}+C.$$

После вынесения общего множителя:

$$\int x\sqrt{x-7}\,dx=\frac{2}{15}(x-7)^{3/2}(5x+14)+C.$$

Ответ

$$\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x+C$$

$$\int \frac{x\,dx}{\cos^2 x}=x\tg x+\ln|\cos x|+C$$

$$\int \frac{x\,dx}{\sin^2 x}=-x\ctg x+\ln|\sin x|+C$$

$$\int x\sqrt{x-7}\,dx=\frac{2}{15}(x-7)^{3/2}(5x+14)+C$$