Упр.6.22 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 6.22

1. $$\int \frac{4x\,dx}{1+x^2}$$

   Сделаем замену:

   $$t=1+x^2,\qquad dt=2x\,dx,\qquad 4x\,dx=2\,dt.$$

   Тогда

   $$\int \frac{4x\,dx}{1+x^2}=\int \frac{2\,dt}{t}=2\ln|t|+C=2\ln|1+x^2|+C.$$

2. $$\int \frac{2x\,dx}{1+4x^2}$$

   Положим

   $$t=1+4x^2,\qquad dt=8x\,dx,\qquad 2x\,dx=\frac14\,dt.$$

   Тогда

   $$\int \frac{2x\,dx}{1+4x^2}=\frac14\int \frac{dt}{t}=\frac14\ln|t|+C=\frac14\ln|1+4x^2|+C.$$

3. $$\int \frac{x\,dx}{1+9x^2}$$

   Сделаем замену:

   $$t=1+9x^2,\qquad dt=18x\,dx,\qquad x\,dx=\frac1{18}\,dt.$$

   Тогда

   $$\int \frac{x\,dx}{1+9x^2}=\frac1{18}\int \frac{dt}{t}=\frac1{18}\ln|t|+C=\frac1{18}\ln|1+9x^2|+C.$$

4. $$\int \frac{x\,dx}{4+x^2}$$

   Положим

   $$t=4+x^2,\qquad dt=2x\,dx,\qquad x\,dx=\frac12\,dt.$$

   Тогда

   $$\int \frac{x\,dx}{4+x^2}=\frac12\int \frac{dt}{t}=\frac12\ln|t|+C=\frac12\ln|4+x^2|+C.$$

Ответ

$$\int \frac{4x\,dx}{1+x^2}=2\ln|1+x^2|+C,$$

$$\int \frac{2x\,dx}{1+4x^2}=\frac14\ln|1+4x^2|+C,$$

$$\int \frac{x\,dx}{1+9x^2}=\frac1{18}\ln|1+9x^2|+C,$$

$$\int \frac{x\,dx}{4+x^2}=\frac12\ln|4+x^2|+C.$$