Упр.6.20 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 6.20

Во всех пунктах используем подстановку вида $$t=a-bx^2,$$ тогда $$dt=-2bx\,dx.$$

1. $$\int \frac{x\,dx}{\sqrt{4-x^2}}$$

   Пусть $$t=4-x^2,$$ тогда $$dt=-2x\,dx,$$ значит $$x\,dx=-\frac12\,dt.$$

   Тогда

   $$ \int \frac{x\,dx}{\sqrt{4-x^2}} =-\frac12\int \frac{dt}{\sqrt{t}} =-\frac12\int t^{-1/2}\,dt =-\frac12\cdot 2\sqrt{t}+C =-\sqrt{t}+C. $$

   Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем

   $$-\sqrt{4-x^2}+C.$$

2. $$\int \frac{3x\,dx}{\sqrt{25-x^2}}$$

   Пусть $$t=25-x^2,$$ тогда $$dt=-2x\,dx,$$ значит $$x\,dx=-\frac12\,dt.$$

   Тогда

   $$ \int \frac{3x\,dx}{\sqrt{25-x^2}} =-\frac12\int \frac{3\,dt}{\sqrt{t}} =-\frac32\int t^{-1/2}\,dt =-\frac32\cdot 2\sqrt{t}+C =-3\sqrt{t}+C. $$

   Следовательно,

   $$-3\sqrt{25-x^2}+C.$$

3. $$\int \frac{2x\,dx}{\sqrt{9-4x^2}}$$

   Пусть $$t=9-4x^2,$$ тогда $$dt=-8x\,dx,$$ значит $$2x\,dx=-\frac14\,dt.$$

   Тогда

   $$ \int \frac{2x\,dx}{\sqrt{9-4x^2}} =-\frac14\int \frac{dt}{\sqrt{t}} =-\frac14\int t^{-1/2}\,dt =-\frac14\cdot 2\sqrt{t}+C =-\frac12\sqrt{t}+C. $$

   Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем

   $$-\frac12\sqrt{9-4x^2}+C.$$

4. $$\int \frac{5x\,dx}{\sqrt{4-9x^2}}$$

   Пусть $$t=4-9x^2,$$ тогда $$dt=-18x\,dx,$$ значит $$x\,dx=-\frac1{18}\,dt.$$

   Тогда

   $$ \int \frac{5x\,dx}{\sqrt{4-9x^2}} =-\frac1{18}\int \frac{5\,dt}{\sqrt{t}} =-\frac5{18}\int t^{-1/2}\,dt =-\frac5{18}\cdot 2\sqrt{t}+C =-\frac59\sqrt{t}+C. $$

   Следовательно,

   $$-\frac59\sqrt{4-9x^2}+C.$$

Ответ

а) $$-\sqrt{4-x^2}+C$$;
б) $$-3\sqrt{25-x^2}+C$$;
в) $$-\frac12\sqrt{9-4x^2}+C$$;
г) $$-\frac59\sqrt{4-9x^2}+C$$.