Упр.6.2 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 6.2. Докажите, что функция F(x) есть первообразная для функции f(x), если:
   а) $$f(x)=0,\quad F(x)=C$$;
   б) $$f(x)=1,\quad F(x)=x$$;
   в) $$f(x)=C,\quad F(x)=Cx$$;
   г) $$f(x)=x,\quad F(x)=\frac{x^2}{2}$$;
   д) $$f(x)=x^2,\quad F(x)=\frac{x^3}{3}$$;
   е) $$f(x)=x^n,\quad F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$$ ($$n\in\mathbb{N}$$).

Проверим в каждом пункте, что производная функции $$F(x)$$ совпадает с $$f(x)$$.

1. $$f(x)=0,\quad F(x)=C$$

   $$F'(x)=(C)’=0=f(x)$$

2. $$f(x)=1,\quad F(x)=x$$

   $$F'(x)=(x)’=1=f(x)$$

3. $$f(x)=C,\quad F(x)=Cx$$

   $$F'(x)=(Cx)’=C=f(x)$$

4. $$f(x)=x,\quad F(x)=\frac{x^2}{2}$$

   $$F'(x)=\left(\frac{x^2}{2}\right)’=\frac{2x}{2}=x=f(x)$$

5. $$f(x)=x^2,\quad F(x)=\frac{x^3}{3}$$

   $$F'(x)=\left(\frac{x^3}{3}\right)’=\frac{3x^2}{3}=x^2=f(x)$$

6. $$f(x)=x^n,\quad F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1},\quad n\in\mathbb{N}$$

   $$F'(x)=\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)’=\frac{(n+1)x^n}{n+1}=x^n=f(x)$$

Следовательно, во всех случаях функция $$F(x)$$ является первообразной для функции $$f(x)$$.

Ответ

Во всех пунктах $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.