Упр.6.2 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
6.2 а) f(x) = 0, F(x) = С;
б) f(x) = 1, F(x) = х;
в) f(x) = С, F(x) = Сх;
г) f(x) = x,F(x) = x2/2;
д) f(x) = х2, F(x) = x3/3;
е) f(x) = хn, F(x) = x^(n+1)/(n+1) (n принадлежит N).
Проверим в каждом пункте, что производная функции $$F(x)$$ совпадает с $$f(x)$$.
$$f(x)=0,\quad F(x)=C$$
$$F'(x)=(C)’=0=f(x)$$
$$f(x)=1,\quad F(x)=x$$
$$F'(x)=(x)’=1=f(x)$$
$$f(x)=C,\quad F(x)=Cx$$
$$F'(x)=(Cx)’=C=f(x)$$
$$f(x)=x,\quad F(x)=\frac{x^2}{2}$$
$$F'(x)=\left(\frac{x^2}{2}\right)’=\frac{2x}{2}=x=f(x)$$
$$f(x)=x^2,\quad F(x)=\frac{x^3}{3}$$
$$F'(x)=\left(\frac{x^3}{3}\right)’=\frac{3x^2}{3}=x^2=f(x)$$
$$f(x)=x^n,\quad F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1},\quad n\in\mathbb{N}$$
$$F'(x)=\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)’=\frac{(n+1)x^n}{n+1}=x^n=f(x)$$
Следовательно, во всех случаях функция $$F(x)$$ является первообразной для функции $$f(x)$$.
Ответ
Во всех пунктах $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.
