Упр.6.18 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Докажите справедливость равенства:

Рассмотрим функцию $$F(x)=\ln|x|+C,\quad x\ne 0.$$

Найдём её производную на каждом из промежутков области определения.

Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

$$F'(x)=(\ln x + C)’=\frac{1}{x}.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ поэтому

$$F'(x)=(\ln(-x)+C)’=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}.$$

Итак, на каждом из промежутков $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$ выполняется равенство

$$\left(\ln|x|+C\right)’=\frac{1}{x}.$$

Следовательно,

$$\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C,\quad x\ne 0.$$

Ответ

$$\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C,\quad x\ne 0.$$