Упр.6.17 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 6.17

Используем стандартные формулы:

$$\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u + C,$$
$$\int \frac{du}{1+u^2}=\arctg u + C.$$

ж)

$$\int \frac{dx}{\sqrt{4x-4x^2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{1-(2x-1)^2}}.$$

Положим $$u=2x-1,$$ тогда $$du=2\,dx,$$ то есть $$dx=\frac{du}{2}.$$ Получаем:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-(2x-1)^2}}=\frac12 \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\frac12 \arcsin u + C=\frac12 \arcsin(2x-1)+C.$$

з)

$$\int \frac{dx}{4x^2+12x+10}=\int \frac{dx}{1+(2x+3)^2}.$$

Положим $$u=2x+3,$$ тогда $$du=2\,dx,$$ то есть $$dx=\frac{du}{2}.$$ Тогда

$$\int \frac{dx}{1+(2x+3)^2}=\frac12 \int \frac{du}{1+u^2}=\frac12 \arctg u + C=\frac12 \arctg(2x+3)+C.$$

Ответ

$$\int \frac{dx}{\sqrt{4x-4x^2}}=\frac12 \arcsin(2x-1)+C,$$
$$\int \frac{dx}{4x^2+12x+10}=\frac12 \arctg(2x+3)+C.$$