Упр.6.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\int \frac{dx}{1+\cos 2x}$$
2. б) $$\int \frac{dx}{1-\cos 2x}$$
3. в) $$\int (\cos 2x-\sin 2x)\,dx$$
4. г) $$\int \sin x\cos x\,dx$$
5. д) $$\int (\sin 5x\cos 4x+\sin 4x\cos 5x)\,dx$$
6. е) $$\int (\cos 2x\cos 3x-\sin 2x\sin 3x)\,dx$$

1. а) Используем формулу $$1+\cos 2x=2\cos^2 x$$:

   $$\int \frac{dx}{1+\cos 2x} = \int \frac{dx}{2\cos^2 x} = \frac12 \int \sec^2 x\,dx = \frac12 \tg x + C.$$

2. б) Используем формулу $$1-\cos 2x=2\sin^2 x$$:

   $$\int \frac{dx}{1-\cos 2x} = \int \frac{dx}{2\sin^2 x} = \frac12 \int \csc^2 x\,dx = -\frac12 \ctg x + C.$$

3. в) Применим формулу $$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x$$:

   $$\int (\cos^2 x-\sin^2 x)\,dx = \int \cos 2x\,dx = \frac12 \sin 2x + C.$$

4. г) Используем формулу $$\sin x\cos x=\frac12\sin 2x$$:

   $$\int \sin x\cos x\,dx = \frac12 \int \sin 2x\,dx = -\frac14 \cos 2x + C.$$

5. д) Сложим слагаемые по формулам суммы синусов:

   $$\sin 5x\cos 4x+\sin 4x\cos 5x=\sin(5x+4x)=\sin 9x.$$

   Тогда

   $$\int (\sin 5x\cos 4x+\sin 4x\cos 5x)\,dx = \int \sin 9x\,dx = -\frac19 \cos 9x + C.$$

6. е) Используем формулу произведения косинусов и синусов:

   $$\cos 2x\cos 3x-\sin 2x\sin 3x=\cos(2x+3x)=\cos 5x.$$

   Следовательно,

   $$\int (\cos 2x\cos 3x-\sin 2x\sin 3x)\,dx = \int \cos 5x\,dx = \frac15 \sin 5x + C.$$

Ответ

а) $$\frac12 \tg x + C$$; б) $$-\frac12 \ctg x + C$$; в) $$\frac12 \sin 2x + C$$; г) $$-\frac14 \cos 2x + C$$; д) $$-\frac19 \cos 9x + C$$; е) $$\frac15 \sin 5x + C$$.