Упр.6.15 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$\int\left(5\sin 2x-\frac{3\cos x}{2}\right)\,dx$$

б) $$\int\left(\frac{5}{x+1}-e^{5x-1}\right)\,dx$$

в) $$\int\left(\frac{3}{\sin^2(x+1)}+\frac{7}{\cos^2(x-1)}\right)\,dx$$

г) $$\int\left(\sqrt{x^3+3x^2+3x+1}-\sqrt[3]{x^2-6x+9}\right)\,dx$$

а) $$\int \left(5\sin 2x-\frac{3}{2}\cos \frac{x}{2}\right)\,dx$$

Интегрируем по частям с учётом формул:

$$\int \sin 2x\,dx=-\frac{1}{2}\cos 2x,\qquad \int \cos \frac{x}{2}\,dx=2\sin \frac{x}{2}.$$

Тогда

$$\int \left(5\sin 2x-\frac{3}{2}\cos \frac{x}{2}\right)\,dx=-\frac{5}{2}\cos 2x-3\sin \frac{x}{2}+C.$$

б) $$\int \left(\frac{5}{x+1}-e^{5x-1}\right)\,dx$$

Используем стандартные формулы:

$$\int \frac{dx}{x+1}=\ln|x+1|,\qquad \int e^{5x-1}\,dx=\frac{1}{5}e^{5x-1}.$$

Получаем

$$\int \left(\frac{5}{x+1}-e^{5x-1}\right)\,dx=5\ln|x+1|-\frac{1}{5}e^{5x-1}+C.$$

в) $$\int \left(\frac{3}{\sin^2(x+1)}+\frac{7}{\cos^2(x-1)}\right)\,dx$$

Так как $$\frac{1}{\sin^2 t}=\csc^2 t$$ и $$\frac{1}{\cos^2 t}=\sec^2 t,$$ то

$$\int \frac{3}{\sin^2(x+1)}\,dx=3\int \csc^2(x+1)\,dx=-3\ctg(x+1),$$

$$\int \frac{7}{\cos^2(x-1)}\,dx=7\int \sec^2(x-1)\,dx=7\tg(x-1).$$

Следовательно,

$$\int \left(\frac{3}{\sin^2(x+1)}+\frac{7}{\cos^2(x-1)}\right)\,dx=-3\ctg(x+1)+7\tg(x-1)+C.$$

г) $$\int \left(\sqrt{x^3+3x^2+3x+1}-\sqrt[3]{x^2-6x+9}\right)\,dx$$

Заметим, что

$$x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3,\qquad x^2-6x+9=(x-3)^2.$$

Тогда

$$\int \left(\sqrt{(x+1)^3}-\sqrt[3]{(x-3)^2}\right)\,dx=\int (x+1)^{3/2}\,dx-\int (x-3)^{2/3}\,dx.$$

Интегрируем:

$$\int (x+1)^{3/2}\,dx=\frac{2}{5}(x+1)^{5/2},$$

$$\int (x-3)^{2/3}\,dx=\frac{3}{5}(x-3)^{5/3}.$$

Итак,

$$\int \left(\sqrt{x^3+3x^2+3x+1}-\sqrt[3]{x^2-6x+9}\right)\,dx=\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{3}{5}(x-3)^{5/3}+C.$$

Ответ

а) $$-\frac{5}{2}\cos 2x-3\sin \frac{x}{2}+C$$

б) $$5\ln|x+1|-\frac{1}{5}e^{5x-1}+C$$

в) $$-3\ctg(x+1)+7\tg(x-1)+C$$

г) $$\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{3}{5}(x-3)^{5/3}+C$$