Упр.6.12 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 6.12. Найдите неопределённый интеграл:
   а) $$\int x\,dx$$;
   б) $$\int x^2\,dx$$;
   в) $$\int x^3\,dx$$;
   г) $$\int \sin x\,dx$$;
   д) $$\int \cos x\,dx$$;
   е) $$\int \frac{dx}{\cos^2 x}$$;
   ж) $$\int \frac{dx}{\sin^2 x}$$;
   з) $$\int e^x\,dx$$;
   и) $$\int 8^x\,dx$$;
   к) $$\int \frac{dx}{x}$$;
   л) $$\int x^{\frac{2}{3}}\,dx$$;
   м) $$\int \sqrt{x}\,dx$$.

1. Используем формулу

   $$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne -1.$$

   Тогда

   $$\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C,$$

   $$\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C,$$

   $$\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C.$$

2. Для тригонометрических функций:

   $$\int \sin x\,dx=-\cos x+C,$$

   $$\int \cos x\,dx=\sin x+C.$$

3. Так как

   $$\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x,$$

   то

   $$\int \frac{dx}{\cos^2 x}=\int \sec^2 x\,dx=\tg x+C.$$

   Аналогично

   $$\int \frac{dx}{\sin^2 x}=\int \csc^2 x\,dx=-\ctg x+C.$$

4. Для показательной функции:

   $$\int e^x\,dx=e^x+C,$$

   $$\int 8^x\,dx=\frac{8^x}{\ln 8}+C.$$

5. Логарифмический интеграл:

   $$\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C.$$

6. Для дробной степени:

   $$\int x^{2/3}\,dx=\frac{x^{5/3}}{5/3}+C=\frac{3}{5}x^{5/3}+C.$$

7. И наконец,

   $$\int \sqrt{x}\,dx=\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}x^{3/2}+C=\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C.$$

Ответ

$$\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C,$$

$$\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C,$$

$$\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C,$$

$$\int \sin x\,dx=-\cos x+C,$$

$$\int \cos x\,dx=\sin x+C,$$

$$\int \frac{dx}{\cos^2 x}=\tg x+C,$$

$$\int \frac{dx}{\sin^2 x}=-\ctg x+C,$$

$$\int e^x\,dx=e^x+C,$$

$$\int 8^x\,dx=\frac{8^x}{\ln 8}+C,$$

$$\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C,$$

$$\int x^{2/3}\,dx=\frac{3}{5}x^{5/3}+C,$$

$$\int \sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+C.$$