Упр.6.10 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 6.10*

Подробный ответ

а) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Так как $$\left(\arcsin x\right)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$ то первообразная имеет вид
$$F(x)=\arcsin x+C.$$
б) $$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$$
Поскольку $$\left(\arctg x\right)’=\frac{1}{1+x^2},$$ получаем
$$F(x)=\arctg x+C.$$
в) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-9x^2}}$$
Используем замену $$u=3x,$$ тогда $$du=3\,dx,$$ и
$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-9x^2}}=\frac13\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\frac13\arcsin u+C.$$
Следовательно,
$$F(x)=\frac13\arcsin(3x)+C.$$
г) $$f(x)=\frac{1}{1+9x^2}$$
Пусть $$u=3x,$$ тогда $$du=3\,dx,$$ и
$$\int \frac{dx}{1+9x^2}=\frac13\int \frac{du}{1+u^2}=\frac13\arctg u+C.$$
Значит,
$$F(x)=\frac13\arctg(3x)+C.$$
д) $$f(x)=\frac{1}{1+4x^2}$$
Положим $$u=2x,$$ тогда $$du=2\,dx,$$ и
$$\int \frac{dx}{1+4x^2}=\frac12\int \frac{du}{1+u^2}=\frac12\arctg u+C.$$
Следовательно,
$$F(x)=\frac12\arctg(2x)+C.$$