Упр.59 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что: а) $$p^2>4q$$, если известно, что $$1+p+q<0$$; б) $$b^2>4ac$$, если известно, что $$(a+b+c)(a-b+c)<0$$.

1. Пусть $$1+p+q<0.$$ Тогда

   $$q<-1-p.$$

   Умножим неравенство на $$4$$:

   $$4q<-4-4p.$$

   Тогда

   $$p^2-4q>p^2+4+4p=p^2+4p+4=(p+2)^2.$$

   Следовательно,

   $$p^2-4q>0,$$

   то есть

   $$p^2>4q.$$

2. Пусть $$\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)<0.$$ Раскроем скобки:

   $$a^2-ab+ac+ab-b^2+bc+ac-bc+c^2<0.$$

   После сокращения получаем

   $$a^2+2ac-b^2+c^2<0.$$

   Тогда

   $$2ac<b^2-a^2-c^2.$$

   Умножим на $$2$$:

   $$4ac<2b^2-2a^2-2c^2.$$

   Перенесём $$4ac$$ в левую часть:

   $$b^2-4ac>b^2-2b^2+2a^2+2c^2=2a^2-b^2+2c^2.$$

   Удобнее записать так:

   $$2b^2-4ac>2a^2+2c^2,$$

   откуда

   $$b^2-2ac>a^2+c^2.$$

   Тогда

   $$b^2-4ac>a^2+c^2-2ac=(a-c)^2\ge 0.$$

   Значит,

   $$b^2-4ac>0,$$

   то есть

   $$b^2>4ac.$$

Ответ

а) $$p^2>4q$$; б) $$b^2>4ac$$.