Упр.58 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 58 (МГУ, хим. ф-т). Функция f(x) удовлетворяет следующему условию: для любых чисел а и b выполняется равенство f(a+2b/3)=((f(a) + 2f(b))/3. Найдите значение функции /(1999), если: а) f(1) = 1 и f(4) = 7; б) f(1) = 2 и f(4) = 8. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/58 118
Из условия имеем:
$$f\!\left(\frac{a+2b}{3}\right)=\frac{f(a)+2f(b)}{3}.$$
Подставим подходящие значения аргументов.
а) При $$a=4,\ b=1$$ получаем:
$$f(2)=f\!\left(\frac{4+2\cdot 1}{3}\right)=\frac{f(4)+2f(1)}{3}=\frac{7+2\cdot 1}{3}=3.$$
При $$a=1,\ b=4$$:
$$f(3)=f\!\left(\frac{1+2\cdot 4}{3}\right)=\frac{f(1)+2f(4)}{3}=\frac{1+2\cdot 7}{3}=5.$$
При $$a=4,\ b=4$$:
$$f(4)=\frac{f(4)+2f(4)}{3}=7.$$
Значения функции образуют арифметическую прогрессию:
$$1,\ 3,\ 5,\ 7,\dots$$
Разность прогрессии $$d=2$$, значит
$$f(1999)=1+2\cdot 1998=3997.$$
б) При $$a=4,\ b=1$$:
$$f(2)=\frac{f(4)+2f(1)}{3}=\frac{8+2\cdot 2}{3}=4.$$
При $$a=1,\ b=4$$:
$$f(3)=\frac{f(1)+2f(4)}{3}=\frac{2+2\cdot 8}{3}=6.$$
При $$a=4,\ b=4$$:
$$f(4)=8.$$
Получаем арифметическую прогрессию:
$$2,\ 4,\ 6,\ 8,\dots$$
Здесь $$d=2$$, поэтому
$$f(1999)=2+2\cdot 1998=3998.$$
Ответ
а) $$3997$$; б) $$3998$$.
