Упр.58 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Функция $$f(x)$$ удовлетворяет следующему условию: для любых чисел $$a$$ и $$b$$ выполняется равенство $$f\left(a+\frac{2b}{3}\right)=\frac{f(a)+2f(b)}{3}$$. Найдите значение функции $$f(1999)$$, если:
а) $$f(1)=1$$ и $$f(4)=7$$;
б) $$f(1)=2$$ и $$f(4)=8$$.

Из условия имеем:

$$f\!\left(\frac{a+2b}{3}\right)=\frac{f(a)+2f(b)}{3}.$$

Подставим подходящие значения аргументов.

а) При $$a=4,\ b=1$$ получаем:

$$f(2)=f\!\left(\frac{4+2\cdot 1}{3}\right)=\frac{f(4)+2f(1)}{3}=\frac{7+2\cdot 1}{3}=3.$$

При $$a=1,\ b=4$$:

$$f(3)=f\!\left(\frac{1+2\cdot 4}{3}\right)=\frac{f(1)+2f(4)}{3}=\frac{1+2\cdot 7}{3}=5.$$

При $$a=4,\ b=4$$:

$$f(4)=\frac{f(4)+2f(4)}{3}=7.$$

Значения функции образуют арифметическую прогрессию:

$$1,\ 3,\ 5,\ 7,\dots$$

Разность прогрессии $$d=2$$, значит

$$f(1999)=1+2\cdot 1998=3997.$$

б) При $$a=4,\ b=1$$:

$$f(2)=\frac{f(4)+2f(1)}{3}=\frac{8+2\cdot 2}{3}=4.$$

При $$a=1,\ b=4$$:

$$f(3)=\frac{f(1)+2f(4)}{3}=\frac{2+2\cdot 8}{3}=6.$$

При $$a=4,\ b=4$$:

$$f(4)=8.$$

Получаем арифметическую прогрессию:

$$2,\ 4,\ 6,\ 8,\dots$$

Здесь $$d=2$$, поэтому

$$f(1999)=2+2\cdot 1998=3998.$$

Ответ

а) $$3997$$; б) $$3998$$.