Упр.57 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) Найдите наименьшее значение функции.
б) Найдите наибольшее значение функции.

а) Преобразуем функцию:

$$y=\frac{x^4-2x^3+3x^2-2x+2}{x^2-x+1} =\frac{(x^4+x^2+2x^2+2)-2x(x^2+1)}{x^2-x+1}$$

$$=\frac{(x^2+1)(x^2+2)-2x(x^2+1)}{x^2-x+1} =\frac{(x^2+1)(x^2-2x+2)}{x^2-x+1}$$

$$=\frac{(x^2+1)\bigl((x-1)^2+1\bigr)}{x^2-x+1}.$$

Так как $$x^2+1\ge 1$$, $$x^2-x+1>0$$ и $$(x-1)^2+1\ge 1$$, то наименьшее значение функции достигается при $$x=1$$:

$$y_{\min}=\frac{(1^2+1)\bigl((1-1)^2+1\bigr)}{1^2-1+1}=2.$$

б) Преобразуем функцию:

$$y=\frac{x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x-2-x^2} =\frac{(x^4+3x^2+2)-2x^3+2x^2-4x+4}{x-2-x^2}$$

$$=\frac{(x^2+2)(x^2+1)-2x(x^2+2)+2(x^2+2)}{x-2-x^2} =\frac{(x^2+2)(x^2+1-2x+2)}{x-2-x^2}$$

$$=\frac{(x^2+2)\bigl((x-1)^2+2\bigr)}{x-2-x^2}.$$

Знаменатель всегда отрицателен, так как

$$x-2-x^2=-(x^2-x+2)<0.$$

Числитель положителен и минимален при $$x=1$$, поэтому дробь принимает наибольшее значение при $$x=1$$:

$$y_{\max}=\frac{(1^2+2)\bigl((1-1)^2+2\bigr)}{1-2-1} =\frac{3\cdot 2}{-2}=-3.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$-3$$.