Упр.55 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) у = корень (12 — x — x2) * log3+x(пи2-х2).

а) Найдём область определения функции

$$ y=\sqrt{x^2-x-2}+\log_{3+x}(9-x^2) $$

Для этого нужно, чтобы выполнялись условия:

$$ \begin{cases} x^2-x-2 \ge 0,\\ 9-x^2 \ge 0,\\ 3+x>0,\\ 3+x\ne 1. \end{cases} $$

1) Решим неравенство

$$ x^2-x-2 \ge 0 $$

$$ x^2-x-2=(x-2)(x+1) $$

$$ (x-2)(x+1)\ge 0 $$

Отсюда
$$ x\in(-\infty;-1]\cup[2;+\infty). $$

2) Решим неравенство

$$ 9-x^2 \ge 0 $$

$$ (3-x)(3+x)\ge 0 $$

Отсюда
$$ x\in[-3;3]. $$

3) Из условия основания логарифма:

$$ 3+x>0 \quad \Rightarrow \quad x>-3, $$

$$ 3+x\ne 1 \quad \Rightarrow \quad x\ne -2. $$

Пересекаем все полученные условия:

$$ x\in\bigl((-\infty;-1]\cup[2;+\infty)\bigr)\cap[-3;3]\cap(-3;+\infty)\setminus\{-2\}. $$

Получаем
$$ x\in(-3;-2)\cup(-2;-1]\cup[2;3]. $$

б) Найдём область определения функции

$$ y=\sqrt{12-x-x^2}\cdot \log_{3-x}(\pi^2-x^2) $$

Требуются условия:

$$ \begin{cases} 12-x-x^2 \ge 0,\\ \pi^2-x^2>0,\\ 3-x>0,\\ 3-x\ne 1. \end{cases} $$

1) Решим неравенство

$$ 12-x-x^2 \ge 0 $$

$$ x^2+x-12 \le 0 $$

$$ (x+4)(x-3)\le 0 $$

Отсюда
$$ x\in[-4;3]. $$

2) Из условия подлогарифмического выражения:

$$ \pi^2-x^2>0 \quad \Rightarrow \quad -\pi

3) Для основания логарифма:

$$ 3-x>0 \quad \Rightarrow \quad x<3, $$

$$ 3-x\ne 1 \quad \Rightarrow \quad x\ne 2. $$

Пересекаем все условия:

$$ x\in[-4;3]\cap(-\pi;\pi)\cap(-\infty;3)\setminus\{2\}. $$

Следовательно,
$$ x\in(-\pi;2)\cup(2;3). $$

Ответ

а) $$x\in(-3;-2)\cup(-2;-1]\cup[2;3]$$

б) $$x\in(-\pi;2)\cup(2;3)$$