Упр.54 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$y=\sqrt{\log_{2}(x^2-2x-2)}$$; б) $$y=\sqrt{\log_{4}(x^2-4x-4)}$$.

а) Для функции $$y=\sqrt{\log_2(x^2-2x-2)}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а логарифм определён при положительном аргументе. Поэтому решаем систему:

$$\begin{cases} x^2-2x-2>0,\\ \log_2(x^2-2x-2)\ge 0. \end{cases}$$

Так как основание логарифма $$2>1,$$ то

$$\log_2(x^2-2x-2)\ge 0 \iff x^2-2x-2\ge 1.$$

Тогда

$$x^2-2x-3\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1).$$

Получаем

$$(x-3)(x+1)\ge 0,$$

откуда

$$x\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty).$$

б) Для функции $$y=\sqrt{\log_4(x^2-4x-4)}$$ аналогично:

$$\begin{cases} x^2-4x-4>0,\\ \log_4(x^2-4x-4)\ge 0. \end{cases}$$

Так как основание логарифма $$4>1,$$ то

$$\log_4(x^2-4x-4)\ge 0 \iff x^2-4x-4\ge 1.$$

Следовательно,

$$x^2-4x-5\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-4x-5=(x-5)(x+1).$$

Тогда

$$(x-5)(x+1)\ge 0,$$

откуда

$$x\in(-\infty;-1]\cup[5;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty);$$ б) $$x\in(-\infty;-1]\cup[5;+\infty).$$