Упр.52 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$y=\sqrt{x^4-4x^2+3}\,|2x-3|$$; б) $$y=\sqrt{x^4-11x^2+18}\,|2x-5|$$.

а) Для существования функции нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$x^4-4x^2+3\ge 0.$$

Сделаем замену:

$$t=x^2,\quad t\ge 0.$$

Тогда получаем:

$$t^2-4t+3\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$t^2-4t+3=(t-1)(t-3).$$

Отсюда:

$$t\in(-\infty;1]\cup[3;+\infty).$$

С учётом условия $$t=x^2\ge 0$$ получаем:

$$x^2\in[0;1]\cup[3;+\infty).$$

Значит,

$$x\in[-1;1]\cup(-\infty;-\sqrt{3}]\cup[\sqrt{3};+\infty).$$

Теперь учтём модульный множитель $$|2x-3|$$: он определён при всех $$x$$, но если требуется, чтобы всё выражение под корнем и множителем было корректно, то дополнительных ограничений нет. Однако точка, где $$2x-3=0$$, даёт отдельное значение $$x=\frac32$$.

Итак,

$$x\in(-\infty;-\sqrt{3}]\cup[-1;1]\cup[\sqrt{3};+\infty)\cup\left\{\frac32\right\}.$$

б) Аналогично, для подкоренного выражения нужно:

$$x^4-11x^2+18\ge 0.$$

Сделаем замену:

$$t=x^2,\quad t\ge 0.$$

Тогда

$$t^2-11t+18\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$t^2-11t+18=(t-2)(t-9).$$

Следовательно,

$$t\in(-\infty;2]\cup[9;+\infty).$$

С учётом $$t=x^2\ge 0$$ получаем:

$$x^2\in[0;2]\cup[9;+\infty).$$

Значит,

$$x\in[-\sqrt{2};\sqrt{2}]\cup(-\infty;-3]\cup[3;+\infty).$$

Дополнительно учитываем точку, где $$2x-5=0$$:

$$x=\frac52.$$

Она входит в область определения, поэтому окончательно:

$$x\in(-\infty;-3]\cup[-\sqrt{2};\sqrt{2}]\cup[3;+\infty)\cup\left\{\frac52\right\}.$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-\sqrt{3}]\cup[-1;1]\cup[\sqrt{3};+\infty)\cup\left\{\frac32\right\}$$

б) $$x\in(-\infty;-3]\cup[-\sqrt{2};\sqrt{2}]\cup[3;+\infty)\cup\left\{\frac52\right\}$$