Упр.51 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б)

а) Для существования функции должны выполняться условия:

$$20+8x-x^2\ge 0,$$

$$x-4>0.$$

Первое неравенство преобразуем:

$$x^2-8x-20\le 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-20)=64+80=144,$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm 12}{2},\quad x_1=-2,\; x_2=10.$$

Тогда

$$x^2-8x-20\le 0 \;\Rightarrow\; x\in[-2;10].$$

С учётом условия $$x>4$$ получаем:

$$x\in[4;10].$$

б) Аналогично, область определения задаётся системой:

$$33+8x-x^2\ge 0,$$

$$x-5>0.$$

Преобразуем первое неравенство:

$$x^2-8x+33\le 0.$$

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения:

$$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 33=64-132=-68<0.$$

Так как дискриминант отрицателен, а старший коэффициент положителен, то

$$x^2-8x+33>0$$

при всех $$x$$, следовательно, неравенство

$$x^2-8x+33\le 0$$

решений не имеет. Значит, и область определения пустая.

Ответ

а) $$x\in[4;10]$$

б) $$\varnothing$$