Упр.50 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) Область определения задаётся системой

   $$\begin{cases} 17-15x-2x^2 \ge 0,\\ x+3>0. \end{cases}$$

   Первое неравенство равносильно

   $$2x^2+15x-17 \le 0.$$

   Найдём корни уравнения

   $$2x^2+15x-17=0.$$

   $$D=15^2-4\cdot 2\cdot(-17)=225+136=361,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-15\pm 19}{4},\quad x_1=-\frac{17}{2},\ x_2=1.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то

   $$2x^2+15x-17 \le 0 \iff x\in\left[-\frac{17}{2};1\right].$$

   Из условия $$x>-3$$ получаем пересечение:

   $$x\in(-3;1].$$

2. б) Область определения задаётся системой

   $$\begin{cases} -4x^2+4x+3 \ge 0,\\ 2x^2-7x+3>0. \end{cases}$$

   Решим первое неравенство:

   $$-4x^2+4x+3 \ge 0 \iff 4x^2-4x-3 \le 0.$$

   Найдём корни уравнения

   $$4x^2-4x-3=0.$$

   $$D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64,$$

   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 8}{8},\quad x_1=-\frac12,\ x_2=\frac32.$$

   Тогда

   $$4x^2-4x-3 \le 0 \iff x\in\left[-\frac12;\frac32\right].$$

   Теперь решим второе неравенство:

   $$2x^2-7x+3>0.$$

   Найдём корни уравнения

   $$2x^2-7x+3=0.$$

   $$D=49-24=25,$$

   $$x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{4},\quad x_1=\frac12,\ x_2=3.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то

   $$2x^2-7x+3>0 \iff x\in(-\infty;\tfrac12)\cup(3;+\infty).$$

   Пересекаем полученные множества:

   $$x\in\left[-\frac12;\frac32\right]\cap\left((-\infty;\tfrac12)\cup(3;+\infty)\right) =\left[-\frac12;\tfrac12\right).$$

Ответ

а) $$x\in(-3;1]$$

б) $$x\in\left[-\frac12;\frac12\right)$$