Упр.5.98 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.98* Корабль К стоит в 9 км от ближайшей точки В прямолинейного берега (рис. 130). С корабля нужно послать курьера в лагерь L, находящийся на берегу и расположенный в 15 км (считая по берегу) от точки В. В каком пункте Р берега курьер должен пристать, чтобы попасть в лагерь за кратчайшее время, если он идет пешком со скоростью 5 км/ч, а на веслах — 4 км/ч? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 5-98 118

Подробный ответ

Пусть $$BP=x,$$ где $$0<x<15.$$ Тогда

$$PL=15-x,$$

а по теореме Пифагора

$$PK=\sqrt{9^2+x^2}=\sqrt{81+x^2}.$$

Время движения курьера по маршруту $$KPL$$ равно

$$f(x)=\frac{15-x}{5}+\frac{\sqrt{81+x^2}}{4}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-\frac15+\frac{x}{4\sqrt{81+x^2}}.$$

Приравняем её к нулю:

$$-\frac15+\frac{x}{4\sqrt{81+x^2}}=0,$$

$$\frac{x}{4\sqrt{81+x^2}}=\frac15,$$

$$5x=4\sqrt{81+x^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$25x^2=16(81+x^2),$$

$$25x^2=1296+16x^2,$$

$$9x^2=1296,$$

$$x^2=144,$$

$$x=12.$$

Так как $$x>0,$$ получаем единственную критическую точку $$x=12.$$ На этом интервале функция убывает, а затем возрастает, значит, при $$x=12$$ время движения минимально.