Упр.5.97 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.97 Диагональ прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равна 3 корень 3, а высота принимает значения, принадлежащие отрезку [1,5; 3,5]. Найдите параллелепипед, имеющий наибольший объем. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 5-97 118
Пусть высота прямоугольного параллелепипеда равна $$x$$, где $$x \in [1{,}5; 3{,}5].$$
Диагональ параллелепипеда равна $$3\sqrt{3}$$, значит для диагонали основания $$BD$$ имеем:
$$BD^2=(3\sqrt{3})^2-x^2=27-x^2.$$
Основание — квадрат, поэтому его площадь равна
$$S=\frac12 BD^2=\frac12(27-x^2).$$
Тогда объём параллелепипеда:
$$V(x)=Sx=\frac12(27-x^2)x=\frac12(27x-x^3).$$
Найдём максимум функции $$V(x)$$ на отрезке $$[1{,}5; 3{,}5].$$
$$V'(x)=\frac12(27-3x^2)=\frac32(3-x)(3+x).$$
Критическая точка на данном отрезке: $$x=3.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$V(1{,}5)=\frac12\left(27\cdot1{,}5-1{,}5^3\right)=\frac{297}{16},$$
$$V(3)=\frac12(27\cdot3-3^3)=27,$$
$$V(3{,}5)=\frac12\left(27\cdot3{,}5-3{,}5^3\right)=\frac{413}{16}.$$
Наибольшее значение объёма равно $$27$$ и достигается при $$x=3.$$
Тогда
$$BD^2=27-3^2=18,$$
а сторона квадрата основания равна
$$a=\frac{BD}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt2}=3.$$
Следовательно, все рёбра параллелепипеда равны $$3$$, то есть это куб.
Ответ
Куб с ребром $$3$$.
