Упр.5.97 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равна $$3\sqrt{3}$$, а высота принимает значения, принадлежащие отрезку $$[1{,}5; 3{,}5]$$. Найдите параллелепипед, имеющий наибольший объем.

Пусть высота прямоугольного параллелепипеда равна $$x$$, где $$x \in [1{,}5; 3{,}5].$$

Диагональ параллелепипеда равна $$3\sqrt{3}$$, значит для диагонали основания $$BD$$ имеем:

$$BD^2=(3\sqrt{3})^2-x^2=27-x^2.$$

Основание — квадрат, поэтому его площадь равна

$$S=\frac12 BD^2=\frac12(27-x^2).$$

Тогда объём параллелепипеда:

$$V(x)=Sx=\frac12(27-x^2)x=\frac12(27x-x^3).$$

Найдём максимум функции $$V(x)$$ на отрезке $$[1{,}5; 3{,}5].$$

$$V'(x)=\frac12(27-3x^2)=\frac32(3-x)(3+x).$$

Критическая точка на данном отрезке: $$x=3.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$V(1{,}5)=\frac12\left(27\cdot1{,}5-1{,}5^3\right)=\frac{297}{16},$$

$$V(3)=\frac12(27\cdot3-3^3)=27,$$

$$V(3{,}5)=\frac12\left(27\cdot3{,}5-3{,}5^3\right)=\frac{413}{16}.$$

Наибольшее значение объёма равно $$27$$ и достигается при $$x=3.$$

Тогда

$$BD^2=27-3^2=18,$$

а сторона квадрата основания равна

$$a=\frac{BD}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt2}=3.$$

Следовательно, все рёбра параллелепипеда равны $$3$$, то есть это куб.

Ответ

Куб с ребром $$3$$.