Упр.5.94 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) Докажите, что прямоугольник с данной диагональю d имеет наибольшую площадь, если он квадрат.

Подробный ответ

а) Пусть катет $$CB=x,$$ где $$0<x<c.$$ Тогда второй катет

$$AC=\sqrt{c^2-x^2}.$$

Площадь прямоугольного треугольника равна

$$S(x)=\frac12 x\sqrt{c^2-x^2}=\frac12\sqrt{c^2x^2-x^4}.$$

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac12\sqrt{c^2x^2-x^4}$$ на интервале $$\left(0;c\right).$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=\frac{c^2x-2x^3}{2\sqrt{c^2x^2-x^4}} =\frac{x(c^2-2x^2)}{2\sqrt{c^2x^2-x^4}}. $$

Критическая точка на интервале $$\left(0;c\right)$$ определяется из уравнения

$$c^2-2x^2=0,$$

откуда

$$x_0=\frac{c}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}c.$$

При переходе через эту точку производная меняет знак с $$+$$ на $$-,$$ значит, в ней функция достигает максимума. Следовательно, наибольшую площадь имеет прямоугольный треугольник, у которого

$$CB=\frac{\sqrt2}{2}c.$$

Тогда

$$AC=\sqrt{c^2-\left(\frac{c}{\sqrt2}\right)^2}=\frac{c}{\sqrt2},$$

то есть треугольник равнобедренный.

б) Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y,$$ а диагональ равна $$d.$$ Тогда

$$x^2+y^2=d^2,$$

а площадь прямоугольника

$$S=xy.$$

Из неравенства

$$x^2+y^2\ge 2xy$$

получаем

$$d^2\ge 2S,$$

то есть

$$S\le \frac{d^2}{2}.$$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $$x=y,$$ то есть прямоугольник является квадратом. Значит, квадрат имеет наибольшую площадь среди всех прямоугольников с данной диагональю.