Упр.5.93 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.93 Парабола задана уравнением у = 3 — х2. В нее вписан прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна его сторона лежала на оси Ох, а две вершины — на параболе (рис. 128). Определите стороны этого прямоугольника. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 5-93 118

Пусть $$OD=x,$$ где $$0<x<\sqrt{3}.$$ Тогда высота прямоугольника равна ординате точки параболы:

$$DC=3-x^2.$$

Ширина прямоугольника равна $$2x,$$ поэтому его площадь

$$S(x)=2x(3-x^2)=-2x^3+6x.$$

Рассмотрим функцию $$S(x)$$ на интервале $$\left(0;\sqrt{3}\right).$$ Найдём производную:

$$S'(x)=-6x^2+6=-6(x-1)(x+1).$$

На интервале $$\left(0;\sqrt{3}\right)$$ критическая точка только одна: $$x=1.$$

Проверим характер изменения функции: при $$0<x<1$$ имеем $$S'(x)>0,$$ а при $$1<x<\sqrt{3}$$ имеем $$S'(x)<0.$$ Значит, при $$x=1$$ площадь прямоугольника наибольшая.

Тогда

$$OD=1,\qquad DC=3-1^2=2,$$

а ширина прямоугольника

$$AD=2\cdot OD=2.$$

Следовательно, прямоугольник наибольшей площади — квадрат со стороной $$2.$$

Ответ

$$2$$