Упр.5 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Делится ли полученное число на 3; на 9?
б) Натуральные числа, начиная с 1, выписали подряд без запятых: 123456789101112131415161718192021….
Какая цифра стоит на 2001-м месте?

а) Найдём сумму цифр числа, составленного из чисел от 1 до 2001.

Сумма цифр чисел от 1 до 9 равна

$$1+2+\dots+9=\frac{1+9}{2}\cdot 9=45.$$

Для чисел от 10 до 19 сумма цифр равна

$$1+2+\dots+10=\frac{1+10}{2}\cdot 10=55.$$

Для чисел от 20 до 29:

$$2+3+\dots+11=\frac{2+11}{2}\cdot 10=65.$$

Аналогично для чисел от 30 до 39 получаем

$$3+4+\dots+12=\frac{3+12}{2}\cdot 10=75.$$

Суммы цифр десятков образуют арифметическую прогрессию:

$$45,\ 55,\ 65,\ 75,\ \dots$$

Таких десятков от 10 до 1999 будет $$200$$, поэтому их сумма равна

$$\frac{45+10(200-1)}{2}\cdot 200=203500.$$

Добавим цифры числа $$2001$$: $$2+0+0+1=3.$$ Тогда сумма цифр всего числа равна

$$203500+3=203503.$$

Проверим делимость:

$$2+0+3+5+0+3=13.$$

Число не делится ни на $$3$$, ни на $$9$$.

б) Определим, какая цифра стоит на $$2001$$-м месте в записи натуральных чисел подряд.

Однозначные числа занимают $$9$$ мест.

Двузначные числа от $$10$$ до $$99$$ занимают

$$90\cdot 2=180$$ мест.

Трёхзначные числа от $$100$$ до $$999$$ занимают

$$900\cdot 3=2700$$ мест.

Уже после записи чисел до $$999$$ занято

$$9+180+2700=2889$$ мест, значит, $$2001$$-е место находится среди трёхзначных чисел.

Найдём, на каком именно числе оно расположено:

$$2001-9-180=1812.$$

В трёхзначных числах каждые $$3$$ места соответствуют одному числу, поэтому

$$1812:3=604.$$

Значит, $$2001$$-е место — это первая цифра $$604$$-го трёхзначного числа после $$100$$:

$$100+603=703.$$

Первая цифра числа $$703$$ — $$7$$.

Ответ

а) Не делится ни на $$3$$, ни на $$9$$; б) $$7$$.