Упр.5.90 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.90* Для каждого отрицательного значения b найдите наименьшее значение функции f(x) = (b-x)/корень (x2+1) на отрезке [1; 2].

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\frac{b-x}{\sqrt{x^2+1}}, \qquad x\in[1;2], \qquad b<0.$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=\frac{-\sqrt{x^2+1}-(b-x)\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} =\frac{-x^2-1-bx+x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} =\frac{-1-bx}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}. $$

Знаменатель положителен при всех $x$, поэтому знак производной определяется числителем:

$$f'(x)=0 \iff -1-bx=0 \iff x=-\frac{1}{b}.$$

Так как $b<0$, то $-\frac{1}{b}>0$. Возможны два случая.

1. Если $$1\le -\frac{1}{b}\le 2,$$ то функция убывает на $[1;-\frac{1}{b}]$ и возрастает на $[-\frac{1}{b};2]$, значит минимум достигается при $$x=-\frac{1}{b}.$$

   Тогда

   $$ f_{\min}=f\!\left(-\frac{1}{b}\right) =\frac{b+\frac{1}{b}}{\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}} =\frac{b^2+1}{\sqrt{1+b^2}} =\sqrt{b^2+1}. $$

   Условие $$1\le -\frac{1}{b}\le 2$$ при $b<0$ равносильно

   $$-1\le b\le -\frac12.$$

2. Если $$-\frac{1}{b}<1,$$ то есть $$b<-1,$$ то на отрезке $[1;2]$ производная положительна, и функция возрастает. Следовательно, минимум достигается при $x=1$:

   $$ f_{\min}=f(1)=\frac{b-1}{\sqrt2}. $$

3. Если $$-\frac{1}{b}>2,$$ то есть $$-1<b<0,$$ то на отрезке $[1;2]$ производная отрицательна, и функция убывает. Следовательно, минимум достигается при $x=2$:

   $$ f_{\min}=f(2)=\frac{b-2}{\sqrt5}. $$

Ответ

$$ f_{\min}= \begin{cases} \dfrac{b-1}{\sqrt2}, & b<-1,\\[6pt] \sqrt{b^2+1}, & -1\le b\le -\dfrac12,\\[6pt] \dfrac{b-2}{\sqrt5}, & -\dfrac12<b<0. \end{cases} $$