Упр.5.9 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=e^{x^2}-ex^2,\quad x\in[-e;e].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(e^{x^2}-ex^2\right)’=2xe^{x^2}-2ex=2x\left(e^{x^2}-e\right).$$

Критические точки на отрезке найдём из уравнения

$$2x\left(e^{x^2}-e\right)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad e^{x^2}=e \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1.$$

Все три точки принадлежат отрезку $$[-e;e].$$

б) $$f(x)=e^{x^2-2x},\quad x\in[-\pi;\pi].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(e^{x^2-2x}\right)’=(2x-2)e^{x^2-2x}.$$

Решаем уравнение

$$(2x-2)e^{x^2-2x}=0.$$

Так как $$e^{x^2-2x}\neq 0,$$ то

$$2x-2=0 \Rightarrow x=1.$$

в) $$f(x)=\frac{\ln x}{x},\quad x\in(0;\pi].$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$

Приравниваем к нулю:

$$\frac{1-\ln x}{x^2}=0 \Rightarrow 1-\ln x=0 \Rightarrow \ln x=1 \Rightarrow x=e.$$

г) $$f(x)=\frac{e^x}{1+x},\quad x\in(-1;\pi].$$

Область определения: $$x\neq -1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{e^x(1+x)-e^x}{(1+x)^2}=\frac{xe^x}{(1+x)^2}.$$

Решаем уравнение

$$\frac{xe^x}{(1+x)^2}=0.$$

Так как $$e^x>0$$ и $$(1+x)^2>0$$ при $$x\neq -1,$$ то

$$x=0.$$

Ответ

а) $$-1,\ 0,\ 1$$; б) $$1$$; в) $$e$$; г) $$0$$.