Упр.5.89 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Для каждого положительного значения $$b$$ найдите наибольшее значение функции $$f(x)=\frac{x+b}{\sqrt{x^2+1}}$$ на отрезке $$[1;2]$$.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\frac{x+b}{\sqrt{x^2+1}}, \qquad x\in[1;2], \qquad b>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-(x+b)\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} =\frac{1-bx}{(x^2+1)^{3/2}}.$$

Так как знаменатель всегда положителен, знак производной определяется числителем $$1-bx$$.

Критическая точка:

$$1-bx=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{1}{b}.$$

Рассмотрим, где эта точка попадает на отрезок $$[1;2]$$.

1. Если $$b\ge 1,$$ то $$\frac{1}{b}\le 1,$$ критическая точка не лежит внутри отрезка. На $$[1;2]$$ функция убывает, значит максимум достигается при $$x=1$$:

   $$f(1)=\frac{1+b}{\sqrt2}.$$

2. Если $$\frac12<b<1,$$ то $$1<\frac{1}{b}<2,$$ и внутри отрезка есть точка максимума $$x=\frac{1}{b}$$. Тогда

   $$f\!\left(\frac{1}{b}\right)=\frac{\frac{1}{b}+b}{\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}} =\sqrt{b^2+1}.$$

3. Если $$0<b\le \frac12,$$ то $$\frac{1}{b}\ge 2,$$ критическая точка не лежит внутри отрезка. На $$[1;2]$$ функция возрастает, значит максимум достигается при $$x=2$$:

   $$f(2)=\frac{2+b}{\sqrt5}.$$

Ответ

$$\max_{[1;2]} f(x)= \begin{cases} \dfrac{2+b}{\sqrt5}, & 0<b\le \dfrac12,\\[6pt] \sqrt{b^2+1}, & \dfrac12<b<1,\\[6pt] \dfrac{1+b}{\sqrt2}, & b\ge 1. \end{cases}$$