Упр.5.88 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

[-1; 1].
б) Для каждого значения b найдите наибольшее значение функции f(x) = (x — b)2 на отрезке [-1; 1].

Рассмотрим функцию $$f(x)=(x-b)^2$$ на отрезке $$[-1;1].$$ Это парабола, ветви которой направлены вверх, поэтому на отрезке минимум достигается в точке, ближайшей к числу $$b,$$ а максимум — в одном из концов отрезка.

а) Найдём наименьшее значение.

Если $$b\in[-1;1],$$ то точка $$x=b$$ принадлежит отрезку, и тогда

$$f_{\min}=f(b)=(b-b)^2=0.$$

Если $$b<-1,$$ то ближайшая к $$b$$ точка отрезка — $$x=-1,$$ поэтому

$$f_{\min}=f(-1)=(-1-b)^2=(1+b)^2.$$

Если $$b>1,$$ то ближайшая к $$b$$ точка отрезка — $$x=1,$$ поэтому

$$f_{\min}=f(1)=(1-b)^2.$$

Итак,

$$ f_{\min}= \begin{cases} (1+b)^2, & b<-1,\\ 0, & -1\le b\le 1,\\ (1-b)^2, & b>1. \end{cases} $$

б) Найдём наибольшее значение.

Сравним значения на концах отрезка:

$$f(-1)=(-1-b)^2=(1+b)^2,$$

$$f(1)=(1-b)^2.$$

Тогда максимум на отрезке равен большему из этих чисел:

$$f_{\max}=\max\{(1+b)^2,(1-b)^2\}.$$

Если $$b>0,$$ то $$ (1+b)^2>(1-b)^2,$$ значит

$$f_{\max}=(1+b)^2.$$

Если $$b\le 0,$$ то $$ (1-b)^2\ge(1+b)^2,$$ значит

$$f_{\max}=(1-b)^2.$$

Следовательно,

$$ f_{\max}= \begin{cases} (1+b)^2, & b>0,\\ (1-b)^2, & b\le 0. \end{cases} $$

Ответ

а) $$f_{\min}= \begin{cases} (1+b)^2, & b<-1,\\ 0, & -1\le b\le 1,\\ (1-b)^2, & b>1. \end{cases}$$

б) $$f_{\max}= \begin{cases} (1+b)^2, & b>0,\\ (1-b)^2, & b\le 0. \end{cases}$$