Упр.5.87 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Для каждого значения $$a$$ найдите наибольшее значение функции $$f(x)=|x-a|$$ на отрезке $$[-1;1]$$.

Рассмотрим функцию $$f(x)=|x-a|$$ на отрезке $$[-1;1].$$

Модуль — это расстояние от точки $$x$$ до точки $$a$$ на числовой прямой. На отрезке $$[-1;1]$$ наибольшее расстояние от точки $$a$$ до точек отрезка достигается на одном из концов: при $$x=-1$$ или при $$x=1.$$

Значит, нужно сравнить значения

$$f(-1)=|-1-a|=|a+1|,$$

$$f(1)=|1-a|=|a-1|.$$

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно

$$\max\{|a+1|,\ |a-1|\}.$$

Это можно записать и по частям:

$$\max_{x\in[-1;1]}|x-a|= \begin{cases} -a-1, & a\le -1,\\ 1-a, & -1\le a\le 0,\\ 1+a, & 0\le a\le 1,\\ a+1, & a\ge 1. \end{cases}$$

Или, объединяя симметрично,

$$\max_{x\in[-1;1]}|x-a|=\max\{|a-1|,\ |a+1|\}.$$

Ответ

$$\max\{|a-1|,\ |a+1|\}$$