Упр.5.86 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Для каждого значения $$a$$ найдите наименьшее значение функции $$f(x)=|x-a|$$ на отрезке $$[-1;1]$$.

Рассмотрим функцию $$f(x)=|x-a|$$ на отрезке $$[-1;1].$$ Это расстояние от точки $$x$$ до числа $$a$$, поэтому наименьшее значение достигается в точке отрезка, ближайшей к $$a$$.

Рассмотрим три случая.

1. Если $$a\ge 1,$$ то ближайшая к $$a$$ точка отрезка $$[-1;1]$$ — это $$x=1.$$ Тогда

   $$\min_{[-1;1]} |x-a|=|1-a|=a-1.$$

2. Если $$a\le -1,$$ то ближайшая к $$a$$ точка отрезка $$[-1;1]$$ — это $$x=-1.$$ Тогда

   $$\min_{[-1;1]} |x-a|=|-1-a|=-a-1.$$

3. Если $$-1<a<1,$$ то точка $$x=a$$ принадлежит отрезку $$[-1;1]$$, и

   $$f(a)=|a-a|=0.$$

   Значит, наименьшее значение равно $$0.$$

Ответ

$$\min\limits_{[-1;1]} |x-a|=\begin{cases} a-1, & a\ge 1,\\ -a-1, & a\le -1,\\ 0, & -1<a<1. \end{cases}$$