Упр.5.85 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.85

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x^2+1}.$$

Так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x$$, область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=\frac{(2x-5)(x^2+1)-2x(x^2-5x+6)}{(x^2+1)^2} =\frac{5x^2-10x-5}{(x^2+1)^2}. $$

Критические точки определяются из уравнения

$$5x^2-10x-5=0,$$

$$x^2-2x-1=0,$$

$$x=1\pm\sqrt2.$$

Так как знаменатель $$\,(x^2+1)^2>0,$$ знак производной определяется числителем. Парабола $$5x^2-10x-5$$ направлена вверх, значит

$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;1-\sqrt2)\cup(1+\sqrt2;+\infty),$$

$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(1-\sqrt2;1+\sqrt2).$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;1-\sqrt2)$$ и $$ (1+\sqrt2;+\infty),$$ убывает на $$ (1-\sqrt2;1+\sqrt2).$$

В точке $$x=1-\sqrt2$$ достигается максимум, а в точке $$x=1+\sqrt2$$ — минимум.

Вычислим значения функции в этих точках:

$$ f(1-\sqrt2)=\frac{(1-\sqrt2)^2-5(1-\sqrt2)+6}{(1-\sqrt2)^2+1} =\frac{7+5\sqrt2}{2}, $$

$$ f(1+\sqrt2)=\frac{(1+\sqrt2)^2-5(1+\sqrt2)+6}{(1+\sqrt2)^2+1} =\frac{7-5\sqrt2}{2}. $$

Значит, на всей числовой прямой функция принимает значения от $$\frac{7-5\sqrt2}{2}$$ до $$\frac{7+5\sqrt2}{2}.$$

Ответ

$$y_{\min}=\frac{7-5\sqrt2}{2},\qquad y_{\max}=\frac{7+5\sqrt2}{2}.$$