Упр.5.84 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию

$$f(x)=\frac{x^2-x+4}{x^2+4}, \qquad x\in[0;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(2x-1)(x^2+4)-2x(x^2-x+4)}{(x^2+4)^2} =\frac{x^2-4x-4}{(x^2+4)^2}.$$

Критические точки определяются из уравнения

$$x^2-4x-4=0,$$

откуда

$$x=2\pm 2\sqrt2.$$

На промежутке $$[0;+\infty)$$ подходит только точка $$x=2+2\sqrt2.$$

Так как знаменатель $$\left(x^2+4\right)^2>0,$$ знак производной определяется числителем. При переходе через точку $$x=2+2\sqrt2$$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, в этой точке достигается максимум.

Значение функции в точке максимума:

$$f(2+2\sqrt2)=\frac{(2+2\sqrt2)^2-(2+2\sqrt2)+4}{(2+2\sqrt2)^2+4} =\frac{3}{4}.$$

На левом конце промежутка:

$$f(0)=\frac{4}{4}=1.$$

Следовательно, на $$[0;+\infty)$$

$$f_{\min}=\frac34,\qquad f_{\max}=1.$$

б) Рассмотрим ту же функцию на промежутке $$(-\infty;0].$$

Критическая точка $$x=2+2\sqrt2$$ не принадлежит этому промежутку, поэтому проверим точку $$x=0$$ и поведение функции на промежутке.

На $$(-\infty;0]$$ функция возрастает, поэтому наибольшее значение достигается в точке $$x=0$$:

$$f(0)=1.$$

При $$x\to -\infty$$

$$f(x)\to 1,$$

но значение $$1$$ не достигается, поэтому наименьшее значение ищем в критической точке, если она есть на промежутке. Для функции

$$f'(x)=\frac{x^2-4x-4}{(x^2+4)^2}$$

вторая критическая точка отсутствует на $$(-\infty;0].$$ Значит, минимум достигается в точке, где производная меняет знак внутри промежутка. Для данного промежутка это точка $$x=-2$$:

$$f»(x)=\frac{-2x^3+24x}{(x^2+4)^3}, \qquad f»(-2)=\frac{32}{8^3}=\frac{1}{16}>0.$$

Следовательно, $$x=-2$$ — точка минимума, и

$$f(-2)=\frac{(-2)^2-(-2)+4}{(-2)^2+4}=\frac{10}{8}=\frac54.$$

Итак, на $$(-\infty;0]$$

$$f_{\min}=\frac54,\qquad f_{\max}=1.$$