Упр.5.83 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=\frac{1}{2}x+\sin x$$, $$[0;\pi]$$; б) $$f(x)=\frac{1}{2}x+\sin x$$, $$[\pi;2\pi]$$; в) $$f(x)=-\frac{1}{2}x+\cos x$$, $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$; г) $$f(x)=-\frac{1}{2}x+\cos x$$, $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$.
а) $$f(x)=\frac12x+\sin x,\quad [0;\pi].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac12+\cos x.$$
Критические точки на отрезке определяются из уравнения
$$\frac12+\cos x=0,\qquad \cos x=-\frac12.$$
На отрезке $$[0;\pi]$$ получаем
$$x=\frac{2\pi}{3}.$$
Проверим знак второй производной:
$$f»(x)=-\sin x,\qquad f»\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}<0.$$
Значит, в точке $$x=\frac{2\pi}{3}$$ достигается максимум.
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(0)=0,$$
$$f\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2},$$
$$f(\pi)=\frac{\pi}{2}.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}.$$
б) $$f(x)=\frac12x+\sin x,\quad [\pi;2\pi].$$
Производная та же:
$$f'(x)=\frac12+\cos x.$$
Из уравнения $$\frac12+\cos x=0$$ на отрезке $$[\pi;2\pi]$$ получаем
$$x=\frac{4\pi}{3}.$$
Проверим вторую производную:
$$f»\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\sin\frac{4\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}>0,$$
значит, в точке $$x=\frac{4\pi}{3}$$ достигается минимум.
Вычислим значения функции:
$$f(\pi)=\frac{\pi}{2},$$
$$f\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2},$$
$$f(2\pi)=\pi.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2},\qquad y_{\max}=\pi.$$
в) $$f(x)=-\frac12x+\cos x,\quad \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac12-\sin x.$$
Критические точки определяются из уравнения
$$-\frac12-\sin x=0,\qquad \sin x=-\frac12.$$
На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем
$$x=-\frac{\pi}{6}.$$
Проверим вторую производную:
$$f»(x)=-\cos x,\qquad f»\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}<0,$$
значит, в точке $$x=-\frac{\pi}{6}$$ достигается максимум.
Вычислим значения функции:
$$f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{4},$$
$$f\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{2},$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi}{4}.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=-\frac{\pi}{4},\qquad y_{\max}=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{2}.$$
г) $$f(x)=-\frac12x+\cos x,\quad \left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].$$
Производная:
$$f'(x)=-\frac12-\sin x.$$
Из уравнения $$-\frac12-\sin x=0$$ на данном отрезке получаем
$$x=\frac{7\pi}{6}.$$
Проверим вторую производную:
$$f»\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\cos\frac{7\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}>0,$$
значит, в точке $$x=\frac{7\pi}{6}$$ достигается минимум.
Вычислим значения функции:
$$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi}{4},$$
$$f\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{7\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{2},$$
$$f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac{3\pi}{4}.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=-\frac{7\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{2},\qquad y_{\max}=-\frac{\pi}{4}.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}$$; б) $$y_{\min}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2},\ y_{\max}=\pi$$; в) $$y_{\min}=-\frac{\pi}{4},\ y_{\max}=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{2}$$; г) $$y_{\min}=-\frac{7\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{2},\ y_{\max}=-\frac{\pi}{4}$$.
