Упр.5.82 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
5.82 a) f(x) = х + 4/x (0; +бесконечность);
б) f(x) = х + 4/x (-бесконечность; 0);
в) f(x) = 8х2 — 1/4x, (-бесконечность; 0);
г) f(x) = 8×2 + 1/4x, (0; +бесконечность).
а) $$f(x)=x+\frac{4}{x}, \quad x\in(0;+\infty).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}.$$
Критическая точка на промежутке: $$f'(x)=0 \Rightarrow x^2-4=0 \Rightarrow x=2.$$
Так как при $$x<2$$ имеем $$f'(x)<0,$$ а при $$x>2$$ имеем $$f'(x)>0,$$ то в точке $$x=2$$ функция достигает минимума.
$$f(2)=2+\frac{4}{2}=4.$$
При $$x\to +\infty$$ значение $$f(x)\to +\infty,$$ значит наибольшего значения на промежутке нет.
б) $$f(x)=x+\frac{4}{x}, \quad x\in(-\infty;0).$$
Производная та же:
$$f'(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}.$$
Критические точки: $$x=\pm 2,$$ но на данном промежутке подходит только $$x=-2.$$
Проверим знак второй производной:
$$f»(x)=\frac{8}{x^3}, \qquad f»(-2)=\frac{8}{-8}=-1<0.$$
Значит, в точке $$x=-2$$ достигается максимум.
$$f(-2)=-2+\frac{4}{-2}=-4.$$
При $$x\to -\infty$$ имеем $$f(x)\to -\infty,$$ поэтому наименьшего значения на промежутке нет.
в) $$f(x)=8x^2-\frac{1}{4x}, \quad x\in(-\infty;0).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=16x+\frac{1}{4x^2}.$$
Решим уравнение $$f'(x)=0$$:
$$16x+\frac{1}{4x^2}=0 \Rightarrow 64x^3+1=0 \Rightarrow x=-\frac14.$$
Вторая производная:
$$f»(x)=16-\frac{1}{2x^3}.$$
$$f»\!\left(-\frac14\right)=16-\frac{1}{2\left(-\frac14\right)^3}=48>0,$$
значит, в точке $$x=-\frac14$$ достигается минимум.
$$f\!\left(-\frac14\right)=8\cdot\frac{1}{16}-\frac{1}{4\cdot\left(-\frac14\right)}=\frac12+1=\frac32.$$
При $$x\to -\infty$$ и $$x\to 0-$$ функция стремится к $$+\infty,$$ поэтому наибольшего значения нет.
г) $$f(x)=8x^2+\frac{1}{4x}, \quad x\in(0;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=16x-\frac{1}{4x^2}.$$
Решим уравнение $$f'(x)=0$$:
$$16x-\frac{1}{4x^2}=0 \Rightarrow 64x^3-1=0 \Rightarrow x=\frac14.$$
Вторая производная:
$$f»(x)=16+\frac{1}{2x^3}, \qquad f»\!\left(\frac14\right)=48>0.$$
Следовательно, в точке $$x=\frac14$$ достигается минимум.
$$f\!\left(\frac14\right)=8\cdot\frac{1}{16}+\frac{1}{4\cdot\frac14}=\frac12+1=\frac32.$$
При $$x\to +\infty$$ функция стремится к $$+\infty,$$ значит наибольшего значения нет.
Ответ
а) $$\min f(x)=4$$ при $$x=2$$, наибольшего значения нет;
б) $$\max f(x)=-4$$ при $$x=-2$$, наименьшего значения нет;
в) $$\min f(x)=\frac32$$ при $$x=-\frac14$$, наибольшего значения нет;
г) $$\min f(x)=\frac32$$ при $$x=\frac14$$, наибольшего значения нет.
