Упр.5.80 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.80 Если на промежутке I с концами а и b функция f(x) непрерывна, а ее производная f'(x) существует, непрерывна и отлична от нуля во всех точках интервала (а; b), кроме точки х0, в которой производная не существует, то как определить, достигает ли функция в этой критической точке максимума (минимума) на этом промежутке? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 5-80 118

Так как на промежутке $$I=[a;b]$$ функция $$f(x)$$ непрерывна, а на каждом из промежутков $$[a;x_0)$$ и $$(x_0;b]$$ производная существует, непрерывна и не обращается в нуль, то на этих промежутках функция монотонна.

Следовательно, чтобы определить, достигает ли функция в точке $$x_0$$ максимума или минимума, достаточно сравнить значения функции по обе стороны от $$x_0$$:

• если при переходе через $$x_0$$ функция возрастает, а затем убывает, то в точке $$x_0$$ достигается максимум;
• если при переходе через $$x_0$$ функция убывает, а затем возрастает, то в точке $$x_0$$ достигается минимум;
• если знак монотонности не меняется, то в точке $$x_0$$ экстремума нет.

Иначе говоря, нужно исследовать знак производной слева и справа от точки $$x_0$$.

Ответ

Нужно определить знак $$f'(x)$$ по обе стороны от точки $$x_0$$: если знак меняется с $$+$$ на $$-$$, то в $$x_0$$ максимум; если с $$-$$ на $$+$$, то минимум; если знак не меняется, то экстремума нет.