Упр.5.8 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) У = еx — хе, [-2; 2];
в) У = sin 2х — х, [-пи; пи];
г) У = cos2x + х, [—пи; пи].

1. а) $$y=e^x-x,\quad [-3;2]$$

   Найдём производную:

   $$y’=e^x-1$$

   Приравняем её к нулю:

   $$e^x-1=0$$

   $$e^x=1$$

   $$x=0$$

   Точка $$x=0$$ принадлежит отрезку $$[-3;2]$$, значит, это искомое значение.

2. б) $$y=e^x-xe,\quad [-2;2]$$

   Найдём производную:

   $$y’=e^x-e$$

   Приравняем её к нулю:

   $$e^x-e=0$$

   $$e^x=e$$

   $$x=1$$

   Точка $$x=1$$ принадлежит отрезку $$[-2;2]$$.

3. в) $$y=\sin 2x-x,\quad [-\pi;\pi]$$

   Найдём производную:

   $$y’=2\cos 2x-1$$

   Приравняем её к нулю:

   $$2\cos 2x-1=0$$

   $$\cos 2x=\frac12$$

   $$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}$$

   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}$$

   На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ получаем:

   $$x=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}$$

4. г) $$y=\cos 2x+x,\quad [-\pi;\pi]$$

   Найдём производную:

   $$y’=-2\sin 2x+1$$

   Приравняем её к нулю:

   $$-2\sin 2x+1=0$$

   $$\sin 2x=\frac12$$

   $$2x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}$$

   $$x=(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in \mathbb{Z}$$

   На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ получаем:

   $$x=-\frac{11\pi}{12},\ -\frac{7\pi}{12},\ \frac{\pi}{12},\ \frac{5\pi}{12}$$

Ответ

а) $$0$$;
б) $$1$$;
в) $$-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}$$;
г) $$-\frac{11\pi}{12},\ -\frac{7\pi}{12},\ \frac{\pi}{12},\ \frac{5\pi}{12}$$.