Упр.5.79 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.79° Если на промежутке I с концами а и b функция f(x) непрерывна вместе со своей производной f'(x) и х0 — единственная ее критическая точка на интервале (а; b), то как определить, достигает ли функция в этой критической точке максимума (минимума) на этом промежутке? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 5-79 118

Пусть на интервале $$\left(a;b\right)$$ единственная критическая точка функции $$f(x)$$ — это $$x_0$$. Тогда знак производной по разные стороны от $$x_0$$ определяет характер экстремума.

Если найдутся точки $$x_1$$ и $$x_2$$ такие, что $$a<x_1<x_0<x_2<b$$, и при этом

$$f'(x_1)>0,\quad f'(x_2)<0,$$

то функция сначала возрастает, а затем убывает. Значит, в точке $$x_0$$ она достигает максимума на интервале $$\left(a;b\right)$$.

Если же

$$f'(x_1)<0,\quad f'(x_2)>0,$$

то функция сначала убывает, а затем возрастает. Значит, в точке $$x_0$$ она достигает минимума на интервале $$\left(a;b\right)$$.

Ответ

Нужно исследовать знак производной по обе стороны от $$x_0$$: если $$f'(x)$$ меняет знак с $$+$ на $$-$$, то в $$x_0$$ максимум; если с $$-$ на $$+$$, то минимум.