Упр.5.78 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Определите промежутки выпуклости вверх (вниз) графика функции $$y=f(x)$$, если: а) $$f(x)=|x^2-1|$$; б) $$f(x)=|\sin x|$$; в) $$f(x)=|\tg x|$$. Есть ли у графика этой функции точки перегиба?

а) $$f(x)=|x^2-1|$$

Рассмотрим функцию по частям:

$$f(x)= \begin{cases} x^2-1, & x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty),\\ 1-x^2, & x\in[-1,1]. \end{cases}$$

На промежутках $$(-\infty,-1)$$ и $$(1,+\infty)$$ имеем

$$f»(x)=2>0,$$

значит, график выпукл вверх.

На промежутке $$(-1,1)$$

$$f»(x)=-2<0,$$

значит, график выпукл вниз.

В точках $$x=-1$$ и $$x=1$$ производная не существует, поэтому точки перегиба отсутствуют.

б) $$f(x)=|\sin x|$$

Функция $$|\sin x|$$ на каждом промежутке, где $$\sin x$$ сохраняет знак, совпадает либо с $$\sin x$$, либо с $$-\sin x$$:

$$f(x)= \begin{cases} \sin x, & x\in[2\pi k,\pi+2\pi k],\\ -\sin x, & x\in[\pi+2\pi k,2\pi+2\pi k], \end{cases} \quad k\in\mathbb Z.$$

На каждом таком промежутке знак второй производной меняется, поэтому график не имеет участков выпуклости вверх или вниз на всей области определения.

Точек перегиба нет.

в) $$f(x)=|\tg x|$$

Область определения:

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

На промежутках, где $$\tg x\ge 0$$, имеем $$f(x)=\tg x$$, а где $$\tg x\le 0$$, имеем $$f(x)=-\tg x$$. Поэтому на каждом промежутке между точками разрыва знак выпуклости меняется, и единых промежутков выпуклости вверх или вниз у графика нет.

Точек перегиба нет.

Ответ

а) Выпуклость вниз: $$(-\infty,-1)$$ и $$(1,+\infty)$$; выпуклость вверх: $$(-1,1)$$. Точек перегиба нет.
б) Промежутков выпуклости вверх и вниз нет. Точек перегиба нет.
в) Промежутков выпуклости вверх и вниз нет. Точек перегиба нет.