Упр.5.77 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.77 Верно ли, что если в некоторой точке вторая производная функции у = f(x) равна нулю, то эта точка является точкой перегиба графика функции у = f(x)?

Нет, это неверно. Для того чтобы точка была точкой перегиба графика функции $$y=f(x),$$ недостаточно одного условия $$f»(x_0)=0.$$

Необходимо, чтобы в окрестности точки $$x_0$$ вторая производная меняла знак: например, с $$+$$ на $$-$$ или с $$-$$ на $$+$$.

Если же знак $$f»(x)$$ не меняется, то точка перегиба отсутствует, хотя может выполняться $$f»(x_0)=0.$$

Например, для функции $$y=x^4$$ имеем $$f»(x)=12x^2,$$ и в точке $$x_0=0$$

$$f»(0)=0,$$

но знак второй производной не меняется, значит, точка $$x_0=0$$ не является точкой перегиба.

Ответ

Нет, не верно: условие $$f»(x_0)=0$$ является лишь необходимым, но не достаточным для точки перегиба.