Упр.5.76 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Определите промежутки выпуклости вверх (вниз), точки перегиба (если они есть) графика функции $$y=f(x)$$, если:
   а) $$f(x)=x^3+3x^2$$;
   б) $$f(x)=x^3-3x^2+5x-4$$;
   в) $$f(x)=-2x^3+3x^2$$;
   г) $$f(x)=-4x^3-6x^2+7x$$;
   д) $$f(x)=5x$$;
   е) $$f(x)=(0{,}5)^x$$;
   ж) $$f(x)=\log_2 x$$;
   з) $$f(x)=\log_{0{,}7}x$$;
   и) $$f(x)=\sin x$$;
   к) $$f(x)=\cos x$$;
   л) $$f(x)=\operatorname{tg}x$$;
   м) $$f(x)=\operatorname{ctg}x$$.

1. а) $$f(x)=x^3+3x^2$$

   $$f'(x)=3x^2+6x,\qquad f»(x)=6x+6$$

   $$6x+6=0 \Rightarrow x=-1$$

   При $$x<-1$$ имеем $$f»(x)<0$$, значит график выпукл вверх; при $$x>-1$$ имеем $$f»(x)>0$$, значит график выпукл вниз.

   Точка перегиба: $$x=-1,\quad f(-1)=-1+3=2$$, то есть $$(-1;2)$$.

2. б) $$f(x)=x^3-3x^2+5x-4$$

   $$f'(x)=3x^2-6x+5,\qquad f»(x)=6x-6$$

   $$6x-6=0 \Rightarrow x=1$$

   При $$x<1$$ имеем $$f»(x)<0$$, при $$x>1$$ имеем $$f»(x)>0$$.

   Точка перегиба: $$f(1)=1-3+5-4=-1$$, значит $$(1;-1)$$.

3. в) $$f(x)=-2x^3+3x^2$$

   $$f'(x)=-6x^2+6x,\qquad f»(x)=-12x+6$$

   $$-12x+6=0 \Rightarrow x=\frac12$$

   При $$x<\frac12$$ имеем $$f»(x)>0$$, при $$x>\frac12$$ имеем $$f»(x)<0$$.

   Точка перегиба: $$f\!\left(\frac12\right)=-2\cdot\frac18+3\cdot\frac14=-\frac14+\frac34=\frac12$$, значит $$\left(\frac12;\frac12\right)$$.

4. г) $$f(x)=-4x^3-6x^2+7x$$

   $$f'(x)=-12x^2-12x+7,\qquad f»(x)=-24x-12$$

   $$-24x-12=0 \Rightarrow x=-\frac12$$

   При $$x<-\frac12$$ имеем $$f»(x)>0$$, при $$x>-\frac12$$ имеем $$f»(x)<0$$.

   Точка перегиба: $$f\!\left(-\frac12\right)= -4\left(-\frac18\right)-6\left(\frac14\right)+7\left(-\frac12\right)=\frac12-\frac32-\frac72=-\frac92$$, значит $$\left(-\frac12;-\frac92\right)$$.

5. д) $$f(x)=5^x$$

   $$f»(x)=5^x(\ln 5)^2>0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$.

   Следовательно, график выпукл вниз на всей области определения, точек перегиба нет.

6. е) $$f(x)=(0{,}5)^x$$

   $$f»(x)=(0{,}5)^x(\ln 0{,}5)^2>0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$.

   Следовательно, график выпукл вниз на всей области определения, точек перегиба нет.

7. ж) $$f(x)=\log_2 x$$

   $$D(f)=(0;+\infty),\qquad f»(x)=-\frac{1}{x^2\ln 2}<0$$ при $$x>0$$.

   Значит, график выпукл вверх на $$(0;+\infty)$$, точек перегиба нет.

8. з) $$f(x)=\log_{0{,}7}x$$

   $$D(f)=(0;+\infty),\qquad f»(x)=-\frac{1}{x^2\ln 0{,}7}>0$$ при $$x>0$$, так как $$\ln 0{,}7<0$$.

   Значит, график выпукл вниз на $$(0;+\infty)$$, точек перегиба нет.

9. и) $$f(x)=\sin x$$

   $$f»(x)=-\sin x$$

   $$-\sin x=0 \Rightarrow x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

   На промежутках $$(2\pi k;\pi+2\pi k)$$ имеем $$\sin x>0$$, значит $$f»(x)<0$$ и график выпукл вверх; на промежутках $$(\pi+2\pi k;2\pi+2\pi k)$$ имеем $$\sin x<0$$, значит $$f»(x)>0$$ и график выпукл вниз.

   Точки перегиба: $$\left(\pi k;0\right),\ k\in\mathbb Z$$.

10. к) $$f(x)=\cos x$$

    $$f»(x)=-\cos x$$

    $$-\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

    На промежутках $$\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)$$ имеем $$\cos x>0$$, значит $$f»(x)<0$$ и график выпукл вверх; на промежутках $$\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)$$ имеем $$\cos x<0$$, значит $$f»(x)>0$$ и график выпукл вниз.

    Точки перегиба: $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi k;0\right),\ k\in\mathbb Z$$.

11. л) $$f(x)=\tg x$$

    $$D(f)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\right\}$$

    $$f»(x)=\frac{2\sin x}{\cos^3 x}$$

    Знак $$f»(x)$$ меняется при $$x=\pi k$$ и на каждом промежутке между асимптотами определяется знаком $$\sin x$$ и $$\cos x$$. В результате:

    график выпукл вверх на $$\left(\pi k-\frac{\pi}{2};\pi k\right)$$, выпукл вниз на $$\left(\pi k;\pi k+\frac{\pi}{2}\right)$$, $$k\in\mathbb Z$$.

    Точки перегиба: $$\left(\pi k;0\right),\ k\in\mathbb Z$$.

12. м) $$f(x)=\ctg x$$

    $$D(f)=\mathbb R\setminus\left\{\pi k,\ k\in\mathbb Z\right\}$$

    $$f»(x)=-\frac{2\cos x}{\sin^3 x}$$

    Отсюда:

    график выпукл вверх на $$\left(\pi k;\pi k+\frac{\pi}{2}\right)$$, выпукл вниз на $$\left(\pi k-\frac{\pi}{2};\pi k\right)$$, $$k\in\mathbb Z$$.

    Точки перегиба: $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi k;0\right),\ k\in\mathbb Z$$.

Ответ

а) выпукл вверх на $$(-\infty;-1)$$, вниз на $$(-1;+\infty)$$, точка перегиба $$(-1;2)$$;
б) вверх на $$(-\infty;1)$$, вниз на $$(1;+\infty)$$, точка перегиба $$(1;-1)$$;
в) вверх на $$(-\infty;\frac12)$$, вниз на $$\left(\frac12;+\infty\right)$$, точка перегиба $$\left(\frac12;\frac12\right)$$;
г) вверх на $$(-\infty;-\frac12)$$, вниз на $$\left(-\frac12;+\infty\right)$$, точка перегиба $$\left(-\frac12;-\frac92\right)$$;
д) выпукл вниз на $$\mathbb R$$, точек перегиба нет;
е) выпукл вниз на $$\mathbb R$$, точек перегиба нет;
ж) выпукл вверх на $$(0;+\infty)$$, точек перегиба нет;
з) выпукл вниз на $$(0;+\infty)$$, точек перегиба нет;
и) вверх на $$\left(2\pi k;\pi+2\pi k\right)$$, вниз на $$\left(\pi+2\pi k;2\pi+2\pi k\right)$$, точки перегиба $$\left(\pi k;0\right)$$;
к) вверх на $$\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)$$, вниз на $$\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)$$, точки перегиба $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi k;0\right)$$;
л) вверх на $$\left(\pi k-\frac{\pi}{2};\pi k\right)$$, вниз на $$\left(\pi k;\pi k+\frac{\pi}{2}\right)$$, точки перегиба $$\left(\pi k;0\right)$$;
м) вверх на $$\left(\pi k;\pi k+\frac{\pi}{2}\right)$$, вниз на $$\left(\pi k-\frac{\pi}{2};\pi k\right)$$, точки перегиба $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi k;0\right)$$, $$k\in\mathbb Z$$.