Упр.5.71 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите производную порядка $$n$$ функции $$f(x)=(x+a)^m$$, где $$m\in\mathbb{N}$$, $$m>n$$.

Найдём производные последовательно. Для функции $$f(x)=(x+a)^m$$ имеем:

$$f'(x)=m(x+a)^{m-1}$$

$$f»(x)=m(m-1)(x+a)^{m-2}$$

Продолжая дифференцирование, получаем общий вид для производной порядка $$n$$:

$$f^{(n)}(x)=m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)(x+a)^{m-n}$$

Так как $$m>n$$, степень $$m-n$$ положительна, и формула корректна.

Ответ

$$f^{(n)}(x)=m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)(x+a)^{m-n}$$