Упр.5.70 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Найдите производную порядка $$n$$ функции: а) $$f(x)=(x+2)^n$$; б) $$f(x)=e^x$$; в) $$f(x)=3^x$$; г) $$f(x)=(x-2)^n$$. Докажите полученные формулы с помощью метода математической индукции.
Используем формулу производной степени и правило дифференцирования сложной функции.
а) $$f(x)=(x+2)^n$$
Тогда
$$f'(x)=n(x+2)^{n-1},$$
$$f»(x)=n(n-1)(x+2)^{n-2},$$
и вообще после $$n$$-кратного дифференцирования получаем
$$f^{(n)}(x)=n!.$$
б) $$f(x)=e^x$$
У экспоненты каждая производная равна самой функции, поэтому
$$f^{(n)}(x)=e^x.$$
в) $$f(x)=3^x$$
При дифференцировании показательной функции с основанием $$3$$ каждый раз появляется множитель $$\ln 3$$:
$$f'(x)=3^x\ln 3,$$
$$f»(x)=3^x(\ln 3)^2,$$
и в общем случае
$$f^{(n)}(x)=3^x(\ln 3)^n.$$
г) $$f(x)=(x-2)^n$$
Аналогично пункту а):
$$f'(x)=n(x-2)^{n-1},$$
$$f»(x)=n(n-1)(x-2)^{n-2},$$
поэтому
$$f^{(n)}(x)=n!.$$
Докажем формулы методом математической индукции.
1. Для $$f(x)=(x+2)^n$$. При $$n=1$$ имеем $$f'(x)=1!=1$$ — верно. Предположим, что для некоторого $$k$$
$$\frac{d^k}{dx^k}(x+2)^n=n(n-1)\cdots(n-k+1)(x+2)^{n-k}.$$
Тогда
$$\frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}(x+2)^n=n(n-1)\cdots(n-k+1)(n-k)(x+2)^{n-k-1},$$
то есть формула верна и для $$k+1$$. Следовательно, при $$k=n$$ получаем
$$f^{(n)}(x)=n!.$$
2. Для $$f(x)=e^x$$. База индукции: $$f'(x)=e^x$$. Если $$f^{(k)}(x)=e^x$$, то
$$f^{(k+1)}(x)=e^x.$$
Значит, для любого $$n$$
$$f^{(n)}(x)=e^x.$$
3. Для $$f(x)=3^x$$. База: $$f'(x)=3^x\ln 3$$. Пусть
$$f^{(k)}(x)=3^x(\ln 3)^k.$$
Тогда
$$f^{(k+1)}(x)=3^x(\ln 3)^{k+1}.$$
Следовательно,
$$f^{(n)}(x)=3^x(\ln 3)^n.$$
4. Для $$f(x)=(x-2)^n$$. Доказательство полностью аналогично пункту а), поэтому
$$f^{(n)}(x)=n!.$$
Ответ
а) $$f^{(n)}(x)=n!$$; б) $$f^{(n)}(x)=e^x$$; в) $$f^{(n)}(x)=3^x(\ln 3)^n$$; г) $$f^{(n)}(x)=n!$$.
