Упр.5.70 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

a) f(x) = (х + 2)n;
б) f(x) = ех;
в) f(x) = 3х;
г) f(x) = (х- 2)n.
Докажите полученные формулы с помощью метода математической индукции.

Используем формулу производной степени и правило дифференцирования сложной функции.

а) $$f(x)=(x+2)^n$$

Тогда

$$f'(x)=n(x+2)^{n-1},$$

$$f»(x)=n(n-1)(x+2)^{n-2},$$

и вообще после $n$-кратного дифференцирования получаем

$$f^{(n)}(x)=n!.$$

б) $$f(x)=e^x$$

У экспоненты каждая производная равна самой функции, поэтому

$$f^{(n)}(x)=e^x.$$

в) $$f(x)=3^x$$

При дифференцировании показательной функции с основанием $3$ каждый раз появляется множитель $\ln 3$:

$$f'(x)=3^x\ln 3,$$

$$f»(x)=3^x(\ln 3)^2,$$

и в общем случае

$$f^{(n)}(x)=3^x(\ln 3)^n.$$

г) $$f(x)=(x-2)^n$$

Аналогично пункту а):

$$f'(x)=n(x-2)^{n-1},$$

$$f»(x)=n(n-1)(x-2)^{n-2},$$

поэтому

$$f^{(n)}(x)=n!.$$

Докажем формулы методом математической индукции.

1. Для $$f(x)=(x+2)^n$$. При $$n=1$$ имеем $$f'(x)=1!=1$$ — верно. Предположим, что для некоторого $$k$$

$$\frac{d^k}{dx^k}(x+2)^n=n(n-1)\cdots(n-k+1)(x+2)^{n-k}.$$

Тогда

$$\frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}(x+2)^n=n(n-1)\cdots(n-k+1)(n-k)(x+2)^{n-k-1},$$

то есть формула верна и для $$k+1$$. Следовательно, при $$k=n$$ получаем

$$f^{(n)}(x)=n!.$$

2. Для $$f(x)=e^x$$. База индукции: $$f'(x)=e^x$$. Если $$f^{(k)}(x)=e^x$$, то

$$f^{(k+1)}(x)=e^x.$$

Значит, для любого $$n$$

$$f^{(n)}(x)=e^x.$$

3. Для $$f(x)=3^x$$. База: $$f'(x)=3^x\ln 3$$. Пусть

$$f^{(k)}(x)=3^x(\ln 3)^k.$$

Тогда

$$f^{(k+1)}(x)=3^x(\ln 3)^{k+1}.$$

Следовательно,

$$f^{(n)}(x)=3^x(\ln 3)^n.$$

4. Для $$f(x)=(x-2)^n$$. Доказательство полностью аналогично пункту а), поэтому

$$f^{(n)}(x)=n!.$$

Ответ

а) $$f^{(n)}(x)=n!$$; б) $$f^{(n)}(x)=e^x$$; в) $$f^{(n)}(x)=3^x(\ln 3)^n$$; г) $$f^{(n)}(x)=n!$$.