Упр.5.7 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) У =корень 5 степени x, [-2; 2];
в) У = 4 корень х — х, (0; 5];
г) У = 2 (корень х) — х, (0; 2].

Подробный ответ

а) $$f(x)=\sqrt[3]{x}, \quad [-1;1].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$
Производная не существует при $$x=0$$, а равенство $$f'(x)=0$$ не имеет решений. Значит, единственная критическая точка на отрезке $$[-1;1]$$ — это $$x=0$$.
б) $$f(x)=\sqrt[5]{x}, \quad [-2;2].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}.$$
Производная не существует при $$x=0$$, а уравнение $$f'(x)=0$$ решений не имеет. Следовательно, критическая точка одна: $$x=0$$.
в) $$f(x)=4\sqrt{x}-x, \quad (0;5].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{2}{\sqrt{x}}-1.$$
Решим уравнение $$f'(x)=0$$:
$$ \frac{2}{\sqrt{x}}-1=0 \\ \frac{2}{\sqrt{x}}=1 \\ \sqrt{x}=2 \\ x=4. $$
Точка $$x=0$$ не входит в область определения, так как промежуток задан как $$ (0;5] $$. Поэтому критическая точка на данном промежутке одна: $$x=4$$.
г) $$f(x)=2\sqrt{x}-x, \quad (0;2].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1}{\sqrt{x}}-1.$$
Решим уравнение $$f'(x)=0$$:
$$ \frac{1}{\sqrt{x}}-1=0 \\ \frac{1}{\sqrt{x}}=1 \\ \sqrt{x}=1 \\ x=1. $$
Точка $$x=0$$ не принадлежит промежутку $$ (0;2] $$, поэтому критическая точка одна: $$x=1$$.