Упр.5.69 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.69* Найдите производные порядков n и (n — 1) функции f(x) = аnхn + аn-1х^(n-1) + … + а1х + а0, где n > = 2.

Пусть

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0,\qquad n\ge 2.$$

При дифференцировании многочлена каждый раз степень уменьшается на $1$, а коэффициент умножается на показатель степени.

После $n-1$ дифференцирований останется только слагаемое с $x$:

$$f^{(n-1)}(x)=n(n-1)\dots 2\cdot 1\cdot a_nx+(n-1)(n-2)\dots 2\cdot 1\cdot a_{n-1}.$$

Так как

$$n(n-1)\dots 2\cdot 1=n!,$$

получаем

$$f^{(n-1)}(x)=n!a_nx+(n-1)!a_{n-1}.$$

Теперь найдём производную ещё раз:

$$f^{(n)}(x)=\bigl(n!a_nx+(n-1)!a_{n-1}\bigr)’=n!a_n.$$

Ответ

$$f^{(n-1)}(x)=n!a_nx+(n-1)!a_{n-1},\qquad f^{(n)}(x)=n!a_n.$$